Hoe logarithms te delen: 11 stappen (met illustraties)

Acties met logaritmen lijken misschien nogal gecompliceerd, maar, net als bij poommy-functies of polynomen, is het noodzakelijk om de basisregels te kennen. Ze zijn nogal wat: om logarithms met dezelfde basis te verdelen of ontbinden de logaritme van privé, het is genoeg om een aantal hoofdeigenschappen van logaritmen te gebruiken.

Stappen

Methode 1 van 2:

Hoe logaritmen handmatig te delen

een. Controleer of er geen negatieve cijfers of een eenheid onder het logaritm-teken zijn. Deze methode is van toepassing op de uitdrukkingen van het formulier

Log B (X) Log B (A)

${ Frac { log _ {{b}} (x)} { log _ {{b}} (A)}}$ . Het is echter niet geschikt voor sommige speciale gelegenheden:

Het logaritme van een negatief getal wordt niet gedefinieerd op een basis (bijvoorbeeld, $Log (- 3)$ of $Log 4 (- vijf)$ $log _ {{4}} (- 5)$ ). In dit geval schrijven "er is geen beslissing".
Logaritme nul op welke reden is ook niet gedefinieerd. Als je betrapt $Ln (0)$ , Schrijf op "er is geen beslissing".
Logaritme-eenheden om welke reden dan ook ( $Log (een)$ ) altijd gelijk aan nul omdat $X 0 = een$ $x ^ {{0}} = 1$ Voor alle waarden X. Noteer in plaats van dergelijk logaritme 1 en gebruik de onderstaande methode niet.
Als logaritmen verschillende basen hebben, bijvoorbeeld $L O G 3 (X) L O G 4 (A)$ ${ Frac {log _ {{3}} (x)} {log _ {{4}} (A)}}$ , en verminder het geheel getal niet, de waarde van de uitdrukking kan niet handmatig worden gevonden.

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 2

2. Converteer een uitdrukking naar een logaritme. Als de uitdrukking niet van toepassing is op de bovenstaande bijzondere gevallen, kan deze worden weergegeven als één logaritme. Gebruik hiervoor de volgende formule:

Log B (X) Log B (A) = {Log}_{A} (X)

${ Frac { log _ {{b}} (x)} { log _ {{b}} (A)}} = log _ {{a}} (x)$ .

Voorbeeld 1: Overweeg de uitdrukking

Log zestien Log 2

.
Om te beginnen zullen we een expressie indienen in de vorm van één logaritme met behulp van de bovenstaande formule:

Log zestien Log 2 = {Log}_{2} (zestien)

${ Frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {{2}} (16)$ .

Deze formule "Vervanging van de basis" Logaritme is afgeleid van de belangrijkste eigenschappen van logarithms.

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 3

3. Bereken indien mogelijk de waarde van de expressie handmatig. Vinden

Log A (X)

$log _ {{a}} (x)$ , Stel je een uitdrukking voor "

A ? = X

$A ^ {{?}} = X$ ", Dat wil zeggen, vraag de volgende vraag: "In welke mate je moet bouwen A, Verkrijgen X?". Om deze vraag te beantwoorden, kan een rekenmachine nodig zijn, maar als u geluk hebt, kunt u het handmatig vinden.

Voorbeeld 1 (vervolg): herschrijven

Log 2 (zestien)

$Log _ {{2}} (16)$ zoals

2 ? = zestien

$2 ^ {{?}} = 16$ . Het is noodzakelijk om te vinden welk nummer moet staan in plaats van teken "?". Dit kan worden gedaan door monsters en fouten:

22 = 2 * 2 = 4

$2 ^ {{2}} = 2 * 2 = 4$

23 = 4 * 2 = acht

$2 ^ {{3}} = 4 * 2 = 8$

24 = acht * 2 = zestien

$2 ^ {{4}} = 8 * 2 = 16$
Dus het gewenste nummer is 4:

Log 2 (zestien)

$Log _ {{2}} (16)$ = 4.

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 4

4. Verlaat het antwoord in logaritmische vorm als u het niet vereenvoudigt. Veel logaritmen zijn erg moeilijk om handmatig te berekenen. In dit geval, om een nauwkeurig antwoord te krijgen, hebt u een rekenmachine nodig. Als u echter de taak in de les bepaalt, dan zal de leraar waarschijnlijk het antwoord in logaritmische vorm bevredigen. Hieronder wordt de in overweging van de methode gebruikt om een complexe voorbeeld op te lossen:

Voorbeeld 2: Wat is gelijk

Log 3 (58) Log 3 (7)

${ Frac { log _ {{3}} (58)} { log _ {{3}} (7)}}$ ?

We transformeren deze uitdrukking in één logaritme:

Log 3 (58) Log 3 (7) = {Log}_{7} (58)

${ Frac { log _ {{3}} (58)} { log _ {{3}} (7)}} = log _ {{7}} (58)$ . Houd er rekening mee dat de basis voor beide logaritmen ₃ verdwijnt - dit is om welke reden dan ook.

Herschrijf een uitdrukking in het formulier

7 ? = 58

$7 ^ {{?}} = 58$ en probeer een waarde te vinden ?:

72 = 7 * 7 = 49

$7 ^ {{2}} = 7 * 7 = 49$

73 = 49 * 7 = 343

$7 ^ {{3}} = 49 * 7 = 343$
Sinds 58 is tussen deze twee nummers,

Log 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ niet uitgedrukt in een geheel getal.

Laat een antwoord achter in logaritmische vorm:

Log 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ .

Methode 2 van 2:

Hoe een privé-logaritme te vinden

een. Overweeg het geval wanneer het logaritme een privé is (fractie). Dit gedeelte is gewijd aan de uitdrukkingen van het type

Log A (\frac{X}{Y})

$log _ {{a}} ({ frac {x} {y}})$ .

Stel dat u de volgende taak moet oplossen:
"Vind n waarop $Log 3 (27 6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)$ $log _ {{3}} ({ frac {27} {6N}}) = - 6- log _ {{3}} (6)$ ".

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 6

2. Controleer of er geen negatief getal is onder het logaritm-teken. Het logaritme van een negatief getal is niet gedefinieerd. Als X of Y negatief zijn, zorg er dan voor dat de taak een oplossing heeft voordat u doorgaat naar zijn zoektocht:

Als X of y minder nul, taak heeft geen oplossing.

Indien beide De cijfers x en y zijn negatief, verminderen het minteken:

- X - Y = \frac{X}{Y}

${ Frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}$ .

In het bovenstaande voorbeeld zijn er geen negatieve getallen onder het logaritm-teken, zodat u naar de volgende stap kunt gaan.

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 7

3. Verspreid het logaritme van privé op twee logaritme. Een andere nuttige eigenschap van logaritmen wordt beschreven door de volgende formule:

Log A (\frac{X}{Y}) = {Log}_{A} (X) - {Log}_{A} (Y)

$log _ {{a}} ({ frac {x} {y}}) = log _ {{a}} (x) - log _ {{a}} (Y)$ . Met andere woorden, het logaritme van het privé is altijd gelijk aan het verschil tussen de logaritmen van de kloof en verdeler.

We gebruiken deze formule om het linkerdeel van de gelijkheid te ontbinden:

Log 3 (27 6 N) = {Log}_{3} (27) - {Log}_{3} (6 N)

$Log _ {{3}} ({ frac {27} {6n}}) = log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n)$

We zullen de uitdrukking in onze gelijkheid vervangen:

Log 3 (27 6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)

$log _ {{3}} ({ frac {27} {6N}}) = - 6- log _ {{3}} (6)$
→

Log 3 (27) - {Log}_{3} (6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 8

4. Vereenvoudig indien mogelijk de uitdrukking. Als de resulterende logaritmen worden vertegenwoordigd door gehele getallen, kunt u de uitdrukking vereenvoudigen.

In ons voorbeeld verscheen er een nieuw lid:

Log 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ . Sinds 3 = 27, in plaats daarvan

Log 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ kan worden gesubstitueerd 3.

Als gevolg hiervan krijgen we de volgende uitdrukking:

3 - Log 3 (6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)

$3- log _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 9

vijf. Afzonderlijke onbekende waarde. Net als bij de oplossing van andere algebraïsche vergelijkingen, wordt aanbevolen om het gewenste bedrag in één richting over te dragen, en alle andere leden zijn aan de andere kant van de vergelijking. Combineer tegelijkertijd vergelijkbare leden om de vergelijking te vereenvoudigen.

3 - Log 3 (6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)

$3- log _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

negen - Log 3 (6 N) = - {Log}_{3} (6)

$9- log _ {{3}} (6n) = - log _ {{3}} (6)$

Log 3 (6 N) = negen + {Log}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6n) = 9 + log _ {{3}} (6)$ .

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 10

6. Gebruik indien nodig andere eigenschappen van logarithms. In ons geval staat een onbekende waarde onder het teken van logaritme. Om het te scheiden van andere leden, moet u gebruiken Andere eigenschappen van logaritme.

In ons voorbeeld N deel van de samengestelde

Log 3 (6 N)

$Log _ {{3}} (6n)$ .
Scheiden N, We gebruiken de volgende eigenschap van logaritmen:

Log A (B C) = {Log}_{A} (B) + Log A (C)

$log _ {{a}} (BC) = log _ {{a}} (b) + log {a} (c)$

Log 3 (6 N) = {Log}_{3} (6) + {Log}_{3} (N)

$Log _ {{3}} (6n) = log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n)$

Vervang dit aantal logarithms in onze uitdrukking:

Log 3 (6 N) = negen + {Log}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Log 3 (6) + {Log}_{3} (N) = negen + {Log}_{3} (6)

$log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Titel afbeelding Divide Logaritmen Stap 11

7. Ga door met het vereenvoudigen van de expressie totdat u het antwoord ontvangt. Gebruik voor dit regel Algebra en de eigenschappen van logaritmen. Als het antwoord niet wordt uitgedrukt in een geheel getal, gebruik dan de rekenmachine en rond het resultaat naar het dichtstbijzijnde significante aantal.