Hoe taken op te lossen met graden

De mate wordt gebruikt om de opname van de vermenigvuldiging van het aantal van zichzelf te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld, in plaats van opname $4 * 4 * 4 * 4 * 4$ kan worden geschreven $4 vijf$ $4 ^ {5}$ (Een verklaring van deze overgang wordt gegeven in het eerste deel van dit artikel). Degrees maken het mogelijk om het schrijven van lange of complexe uitdrukkingen of vergelijkingen te vereenvoudigen, is ook gemakkelijk gevouwen en afgetrokken, wat leidt tot een vereenvoudiging van expressie of vergelijking (bijvoorbeeld, $42 * 4^{3} = 4^{vijf}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ ).

Opmerking: Als u de indicatieve vergelijking (in deze vergelijking moet oplossen (in deze vergelijking, is het onbekende in een indicator van de omvang), lees Dit artikel.

Stappen

Methode 1 van 3:

Oplossing van de eenvoudigste taken met graden

een. Terminologie. Bijvoorbeeld, gegeven een diploma

23

$2 ^ {3}$ . Hier is 2 Stichtingsgraad, en 3 is exponent. Nummer

23

$2 ^ {3}$ geuit als volgt: twee in de derde graad of twee in Cuba.

Als het cijfer aanwezig is 2, bijvoorbeeld, $vijf 2$ $5 ^ {2}$ , Dan wordt een dergelijke indicator genoemd Vierkant, Dat wil zeggen, ons voorbeeld wordt geuit zoals dit: vijf in vierkant.
Als de figuur bijvoorbeeld 3 is, bijvoorbeeld, $103$ $10 ^ {3}$ , Dan wordt een dergelijke indicator genoemd Cuba, Dat wil zeggen, ons voorbeeld wordt geuit als dit: tien in Cuba.
Als het aantal geen indicator van de mate heeft, betekent dit dat het cijfer gelijk is aan 1. Bijvoorbeeld, $4 = 4 een$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Elk getal (fractie, expressie) op nul-graad, gelijk aan 1, dat is $40 = een$ $4 ^ {0} = 1$ of $(3 / acht)^{0} = een.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Meer informatie is te vinden in de sectie "Tips".

2. Vermenigvuldig de basis van de mate zelf door het aantal keren gelijk aan de indicator van de mate. Als u de taak met graden handmatig moet oplossen, herschrijft u de mate in de vorm van vermenigvuldiging, waarbij de basis van de graad door zichzelf wordt vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld, gegeven een diploma

34

$3 ^ {4}$ . In dit geval moet de basis van graad 3 4 keer op zichzelf worden vermenigvuldigd:

3 * 3 * 3 * 3

. Hier zijn andere voorbeelden:

4 vijf = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

acht 2 = acht * acht

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Tien in Cuba

= 10 * 10 * 10

3. Om de eerste twee cijfers te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld,

4 vijf

$4 ^ {5}$ =

4 * 4 * 4 * 4 * 4

. Maak je geen zorgen - het proces van berekenen is niet zo gecompliceerd omdat het op het eerste gezicht lijkt. Vermenigvuldig de eerste twee vier, en vervang ze vervolgens met het resultaat. Zoals dit:

4 vijf = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

4 * 4 = zestien

$4 vijf = zestien * 4 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

4. Vermenigvuldig het resultaat (in ons voorbeeld 16) naar het volgende nummer. Elk daaropvolgend resultaat zal worden verhoogd. Vermenigvuldig 16 tot 4 in ons voorbeeld. Zoals dit:

4 vijf = zestien * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

zestien * 4 = 64

$4 vijf = 64 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * 4 = 256

$4 vijf = 256 * 4$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * 4 = 1024

Ga door met vermenigvuldig het resultaat van het vermenigvuldigen van de eerste twee nummers naar het volgende nummer totdat u het laatste antwoord ontvangt. Om dit te doen, verandert u de eerste twee cijfers en vervolgens wordt het resultaat vermenigvuldigd met het volgende nummer in de reeks. Deze methode is voor elke diploma geldig. In ons voorbeeld moet u: $4 vijf = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

vijf. Bepaal de volgende taken. Controleer check met de rekenmachine.

acht 2

$8 ^ {2}$

34

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

6. Zoek op de rekenmachine de toets aangegeven als "EXP", of "XN{ displaystyle x ^ {n}} $x ^ {n}$ ", Of" ^ ". Met deze sleutel zul je het nummer in de mate verhogen. Bereken de mate met een grote indicator handmatig onmogelijk (bijvoorbeeld diploma

negen vijftien

$9 ^ {{15}}$ ), maar de rekenmachine kan gemakkelijk met deze taak omgaan. In Windows 7 kan de standaardcalculator worden geschakeld naar de engineeringmodus - voor dit klik op "Weergave" -> "Engineering". Klik op "Beeld" -> "NORMAL" om naar de normale modus te schakelen.

Controleer het antwoord dat door Google wordt ontvangen. Profiteer van de toets "^" op het toetsenbord van de computer, voert u de uitdrukking in in de zoekmachine, die meteen het juiste antwoord geeft (en kan vergelijkbare uitdrukkingen aanbieden om te studeren).

Methode 2 van 3:

Toevoeging, aftrekking, vermenigvuldiging van graden

een. Om alleen dwees te vouwen en af te trekken als ze dezelfde bases hebben. Als u graden moet toevoegen met dezelfde basen en indicatoren, kunt u de werking van toevoeging van de bediening van vermenigvuldiging vervangen. Bijvoorbeeld wordt de uitdrukking gegeven

4 vijf + 4^{vijf}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Onthoud dat de diploma

4 vijf

$4 ^ {5}$ kan worden vertegenwoordigd als

een * 4 vijf

$1 * 4 ^ {5}$ - dus,

4 vijf + 4^{vijf} = een * 4^{vijf} + een * 4^{vijf} = 2 * 4^{vijf}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (waarbij 1 +1 = 2). Dat wil zeggen, overweeg het aantal vergelijkbare graden en vermenigvuldigt u vervolgens een dergelijke mate en dit is het nummer. In ons voorbeeld uitgebreid 4 in de vijfde graad, en dan vermenigvuldig het resultaat met 2. Vergeet niet dat de toevoeging kan worden vervangen door een vermenigvuldiging, bijvoorbeeld,

3 + 3 = 2 * 3

. Hier zijn andere voorbeelden:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$4 vijf + 4^{vijf} + 4^{vijf} = 3 * 4^{vijf}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$4 vijf - 4^{vijf} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$4 X 2 - 2 X^{2} = 2 X^{2}$ $4X ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

Titel afbeelding Solve Exponenten Stap 8

2. Bij het vermenigvuldigen van diploma met dezelfde basis zijn hun indicatoren gevouwen (de basis verandert niet). Bijvoorbeeld wordt de uitdrukking gegeven

X 2 * X^{vijf}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . In dit geval hoeft u alleen de indicatoren te vouwen, waardoor de basis ongewijzigd blijft. Dus,

X 2 * X^{vijf} = X^{7}

$x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Hier is een visuele verklaring van deze regel:

X 2 * X^{vijf}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

X 2 = X * X

$x ^ {2} = x * x$

X vijf = X * X * X * X * X

$x ^ {5} = x * x * x * x * x$

X 2 * X^{vijf} = (X * X) * (X * X * X * X * X)

$x ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Omdat de basis op zichzelf wordt vermenigvuldigd, kunnen we dit in het volgende formulier indienen:

X 2 * X^{vijf} = X * X * X * X * X * X * X

$x ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$X 2 * X^{vijf} = X^{7}$ $x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

3. Wanneer de mate in de mate wordt verhoogd, zijn de indicatoren variabel. Bijvoorbeeld, gegeven een diploma

(X 2)^{vijf}

$(x ^ {2}) ^ {5}$ . Omdat de indicatoren van de mate variabel zijn, dan

(X 2)^{vijf} = X^{2 * vijf} = X^{10}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . De betekenis van deze regel is dat u de mate vermenigvuldigt

(X 2)

$(x ^ {2})$ voor zichzelf vijf keer. Zoals dit:

(X 2)^{vijf}

$(x ^ {2}) ^ {5}$

(X 2)^{vijf} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Omdat de basis hetzelfde is, tellen de indicatoren van de diploma eenvoudig op: $(X 2)^{vijf} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} = X^{10}$ $(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ ^ 2} * x ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {{10}}$

Titel afbeelding Solve Exponenten Stap 10

4. De mate met een negatieve indicator moet worden omgezet in een fractie (in de achterzijde). Geen problemen als je niet weet wat het omgekeerde. Als u een diploma krijgt met een negatieve indicator, bijvoorbeeld,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}$ , Noteer deze diploma in de proezen noemer (in de teller, plaats 1) en maak de indicator positief. In ons voorbeeld:

\frac{een}{3} 2

${ Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Hier zijn andere voorbeelden:

vijf - 10 = \frac{een}{vijf} 10

$5 ^ {{- 10}} = { frac {1} {5 ^ {{{10}}}}$

3 X - 4 = \frac{3}{X} 4

$3x ^ {{- 4}} = { frac {3} {x ^ {4}}}$

Titel afbeelding Solve Exponents Stap 11

vijf. Bij scheidingsgraden met dezelfde basis worden hun indicatoren afgetrokken (de basis verandert niet). Divisie Bediening is het tegenovergestelde van vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld wordt de uitdrukking gegeven

44 4^{2}

${ Frac {4 ^ ^ 4}} {4 ^ {2}}}$ . Verwijder de indicator van de mate in de noemer, uit de indicator van de mate die in de teller staat (verander de basis niet). Dus,

44 4^{2} = 4^{4 - 2} = 4^{2}

${ Frac {4 ^ ^ 4}} {4 ^ {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = zestien.

De graad met de noemer kan in dit formulier worden geschreven:

\frac{een}{4} 2

${ Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

4 - 2

$4 ^ {{- 2}}$ . Vergeet niet dat de fractie een getal (graad, expressie) is met een negatieve indicator van de mate.

Titel afbeelding Solve Exponents Stap 12

6. Hieronder staan enkele uitdrukkingen die u zullen helpen om taken met graden op te lossen. Deze uitdrukkingen bedekken het materiaal in deze sectie. Om het antwoord te zien, markeert u gewoon de lege ruimte na het teken van gelijkheid.

vijf 3

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

X een 2 - 2 X^{een} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -X ^ 12

Y 3 * Y

$y ^ {3} * y$ =

Y 4

$y ^ {4}$ Vergeet niet dat elk nummer een diploma is met een indicator 1

(Q 3)^{vijf}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

Q een vijf

$Q ^ {1} 5$

R vijf R^{2}

${ Frac {r ^ {5}} {r ^ {2}}}$ =

R 3

$R ^ {3}$

Methode 3 van 3:

Taken oplossen met fractionele indicatoren

een. Graad met fractionele indicator (bijvoorbeeld, Xeen2{ displaystyle x ^ { frac {1} {2}}} $X ^ {{{ frac {1} {2}}}}$ ) wordt omgezet in de winning van de wortel. In ons voorbeeld:

X \frac{een}{2}

$X ^ {{{ frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{X}

. Het maakt hier niet uit, welk getal is in de noemer van de fractionele indicator van de graad. Bijvoorbeeld,

X \frac{een}{4}

$X ^ {{{ frac {1} {4}}}}$ - Dit is de wortel van de vierde graad van "X", dat is

X 4

De werking van de root-extractie is terug in relatie tot de werking van de uitoefening. Bijvoorbeeld, als de root $X 4$ Bouw een vierde graad, dan krijg je "x", evenals $zestien 4 = 2$ U kunt als volgt controleren: $24 = zestien$ $2 ^ {4} = 16$ . Nog een voorbeeld: als $X 4 = 2$ , dan $24 = X$ $2 ^ {4} = x$ - dus, $X = 2$ .

Titel afbeelding Solve Exponents Stap 14

2. Als de indicator een onregelmatige fractie is, kan een dergelijke diploma gedurende twee graden worden ontleed om de oplossing van het probleem te vereenvoudigen. Er is hier niets ingewikkeld - onthoud gewoon de regel van vermenigvuldiging per graden. Bijvoorbeeld, gegeven een diploma

X \frac{vijf}{3}

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}}$ . Draai een dergelijke mate naar de wortel, waarvan de mate gelijk is aan de noemer van de fractionele indicator en neem dan deze root in de graad gelijk aan het splitsingsnummer. Om het te doen, onthoud dat

\frac{vijf}{3}

(\frac{een}{3}) * vijf

. In ons voorbeeld:

X \frac{vijf}{3}

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}}$

X \frac{vijf}{3} = X^{vijf} * X^{\frac{een}{3}}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{ frac {1} {3}}}}$

X \frac{een}{3} = X 3

$x ^ {{{ frac {1} {3}}}} = { sqrt [{3}] {x}}$

X \frac{vijf}{3} = X^{vijf} * X^{\frac{een}{3}}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{ frac {1} {3}}}}$ = $(X 3)^{vijf}$ $({ Sqrt [{3}] {x}}) ^ {5}$

Titel afbeelding Solve Exponents Stap 15

3. Vouw, aftrekking en langdurige fractionele indicatoren voor algemene regels. Het is gemakkelijker om fractionele indicatoren toe te voegen en af te trekken voordat u degrees in de wortels of in cijfers converteert. Als graden worden gegeven met dezelfde basen en indicatoren, ontwikkelen en aftrekken ze onder de algemene regels. Als de graden alleen met dezelfde bases worden gegeven, kunt u ze vermenigvuldigen en delen (alleen als u het weet Regels van toevoeging en aftrek van fracties). Bijvoorbeeld:

X \frac{vijf}{3} + X^{\frac{vijf}{3}} = 2 (X^{\frac{vijf}{3}})

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}} + x ^ {{ frac {5} {3}}}} = 2 (x ^ {{{ frac {5} {3}} }})$

X \frac{vijf}{3} * X^{\frac{2}{3}} = X^{\frac{7}{3}}

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}} * x ^ {{{ frac {2} {3}}}} = x ^ {{{ frac {7}}}$

Tips

Vereenvoudiging van expressie is om het tot een dergelijke vorm te brengen (met behulp van de vervulling van wiskundige operaties), wat gemakkelijker is om op te lossen.
Op sommige rekenmachines is er een knop om diploma te berekenen (u moet eerst de basis invoeren en vervolgens op de knop drukken en vervolgens de indicator invoeren). Het is aangeduid als ^ of x ^ y.
Vergeet niet dat elk nummer in de eerste graad gelijkelijk voor jezelf, $4 een = 4.$ $4 ^ {1} = 4$ Bovendien is elk getal vermenigvuldigd of gedeeld door één gelijk aan zichzelf, $vijf * een = vijf$ en $vijf / een = vijf$ .
Weet dat de diploma 0 niet bestaat (deze graad heeft geen oplossing). Wanneer u een dergelijke mate op de rekenmachine of op de computer wilt oplossen, krijgt u een foutmelding. Maar vergeet niet dat elk nummer in nul gelijk is aan 1, bijvoorbeeld, $40 = een.$ $4 ^ {0} = 1$
In de hoogste wiskunde, die met imaginaire getallen opereert: $E A I X = C O S A X + I S I N A X$ $E ^ {a} ix = COSAX + ISINAX$ , waar $I = \sqrt{(} - een)$ - E - constante, ongeveer gelijk aan 2,7- en - willekeurige constante. Bewijs van deze gelijkheid is te vinden in elk leerboek op hogere wiskunde.

Waarschuwingen

Met een toename van de indicator van de mate neemt de waarde toe. Dus als het antwoord aan jou verkeerd lijkt, kan hij in feite trouw zijn. U kunt het bekijken door een schema van elke indicatieve functie te bouwen, bijvoorbeeld 2.

Deel in het sociale netwerk: