Hoe de begeleide uitdrukking te vereenvoudigen

Andferred uitdrukking is een algebraïsche uitdrukking die onder het teken is van de wortel (vierkant, kubieke of hogere orde). Soms zijn de waarden van verschillende uitdrukkingen hetzelfde, bijvoorbeeld 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Vereenvoudiging van de voedingsuiting is ontworpen om het tot een canonieke vorm van opname te brengen.Als twee uitingen die in canonieke vorm worden vastgelegd, zijn hun waarden niet gelijk. In de wiskunde wordt aangenomen dat de canonieke vorm van opname van voedingsuitdrukkingen (evenals uitdrukkingen met wortels) voldoet aan de volgende regels:

Werk indien mogelijk van de fractie onder het hoofdbord
Ontdoen van expressie met fractionele indicator
Word indien mogelijk de roots in de noemer
Ontdoen van een root-root-vermenigvuldiging
Onder het teken van de root moet u alleen die leden achterlaten waaruit een geheel getalwortel niet kan worden geëxtraheerd

Deze regels kunnen worden toegepast op de uitvoering van testtaken. Als u bijvoorbeeld besluit om taak te taken, maar het resultaat komt niet overeen met een van de gegeven antwoorden, noteert het resultaat in Canonical Form. Houd er rekening mee dat de antwoorden op testtaken in canonieke vorm worden gegeven, dus als u het resultaat in hetzelfde formulier schrijft, kunt u eenvoudig het juiste antwoord bepalen. Als de taak vereist is om "het antwoord" te vereenvoudigen "of" Vereenvoudig het voederen van uitdrukkingen ", is het noodzakelijk om het resultaat in canonieke vorm op te nemen. Bovendien vereenvoudigt de canonische vorm de oplossing van vergelijkingen, hoewel het met sommige vergelijkingen gemakkelijker is om het hoofd te bieden als voor een tijdje vergeten over de canonieke vorm van opname.

Stappen

een. Onthoud indien nodig de regels voor het uitvoeren van operaties met wortels en graden (Denk eraan: de begeleide uitdrukking is een uitdrukking met een fractionele indicator van de mate), omdat dergelijke regels in de toekomst nodig zullen zijn. Onthoud bovendien de regels voor het beroep en vereenvoudig polynomen en Rationele uitdrukkingen.

Methode 1 van 6:

Ontdoen van volledige vierkanten en volledige kubussen

een. Vereenvoudig de voedingsuitdrukking die een volledig vierkant is. Volledig vierkant is een nummer dat een vierkant van een geheel getal is, bijvoorbeeld 81 is een compleet vierkant, omdat 9 ^ 2 = 9 x 9 = 81. Om de voedingsuitdrukking te vereenvoudigen, wat een compleet plein is, verwijder het gewoon het wortelteken en noteer een geheel getal (wanneer het vierkant op het plein staat).

121 is bijvoorbeeld een compleet vierkant, omdat 11 x 11 = 121. Dus, √121 = 11 (dat wil zeggen, we raken het hoofdbord af en schrijven we een geheel getal).
Om de berekeningen te vergemakkelijken, onthoud de volgende volledige vierkanten: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

2. Vereenvoudig de geconditioneerde uitdrukking die vol is met kubus. Een complete kubus is een getal dat een kubus van een geheel getal is, bijvoorbeeld 27 is een complete kubus, omdat 3 ^ 3 = 3 x 3 x 3 = 27. Om de voedingsuitdrukking te vereenvoudigen die een complete kubus is, verwijder je gewoon het wortelteken en noteer een geheel getal (wanneer de kubus in de kubus zal zijn).

343 is bijvoorbeeld een complete kubus, omdat 7 x 7 x 7 = 343. Dus de kubieke wortel van 343 is 7.

Methode 2 van 6:

Ontdoen van expressie met fractionele indicator

Converteer de uitdrukking met een fractionele indicator in een begeleide uitdrukking. Of, indien nodig, de geconditioneerde uitdrukking omzetten in een uitdrukking met een fractionele indicator, maar meng nooit dergelijke uitdrukkingen in één vergelijking, bijvoorbeeld als volgt: √5 + 5 ^ (3/2). Stel dat je besloot om met de wortel-vierkante wortel uit N te werken, duiden we aan als √n, en de kubieke wortel van N als een Cube√n.

een. Zoek een uitdrukking met een fractionele indicator en converteer het in een begeleide uitdrukking: x ^ (A / b) = b-TH-graad root van x ^ a.

Als de mate van de root een fractie is, ontdoen er ook van. Bijvoorbeeld een root van 2 / 3e graad van 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

2. Converteer de uitdrukking met een negatieve indicator naar de overeenkomstige fractionele uitdrukking: x ^ (- y) = 1 / x ^.

Dit geldt alleen voor constante, rationele indicatoren. Wanneer de term een variabele bevat, bijvoorbeeld 2 ^ x, raak het niet aan, zelfs als de variabele "X" fractioneel of negatief is.

Geef dergelijke leden en vereenvoudig elke rationele uitdrukkingen.

Methode 3 van 6:

Het verwijderen van fracties onder het teken van de wortel

Volgens de canonieke vorm van opname moet de wortel van de fractie worden vertegenwoordigd als de hoofddivisie van gehele getallen.

een. Kijk naar de kereluitdrukking. Als het een fractie is, ga dan naar de volgende stap.

2. Vervang de wortel van de fractie met de verhouding van twee wortels volgens de volgende identiteit: √ (A / B) = √A / √b.

Gebruik deze identiteit niet als de noemer negatief is of een variabele bevat die mogelijk negatief is. In dit geval, eerst de fractie vereenvoudigen.

3. Vereenvoudig de volledige vierkanten (indien aanwezig). Bijvoorbeeld, √ (5/4) = √5 / √4 = (√5) / 2.

4. Andere vereenvoudigingen uitvoeren, zoals, Vereenvoudig composietfracties, Breng dergelijke leden enzovoort.

Methode 4 van 6:

Het verwijderen van de gewasvermenigvuldiging

een. Als de vergelijking aanwezig is in de rootstralingsvermenigvuldiging, Combineer twee afneembare uitdrukkingen onder één hoofdbord Volgens de identiteit: √a * √b = √ (AB). Bijvoorbeeld √2 * √6 = √12.

Deze identiteit is alleen geldig wanneer gesubschoorte uitdrukkingen niet negatief zijn. √ (-1) * √ (-1) ≠ √ (1) - Hier is de uitdrukking aan de linkerkant -1 (of niet gedefinieerd als u niet weet hoe u met complexe getallen kunt werken), en de uitdrukking op het recht is +1, dat wil zeggen, identiteit niet uitgevoerd. Als "A" en / of "B" een negatieve waarde heeft, gebruikt u de imaginaire eenheid, die is aangegeven als I: √ (-5) = i * √5. Als de voorwaarde van de doeluitdrukking niet bekend is uit de voorwaarden van het probleem (dat is, kan het positief of negatief zijn), raak deze niet zo`n uitdrukking aan. Of gebruik een meer algemene identiteit: √a * √b = √ (SGN (A)) * √ (SGN (B)) * √ (| AB |), die wordt uitgevoerd voor alle geldige nummers "A" en "B" , maar in de regel is het niet nodig om de oplossing van het probleem te bemoeilijken vanwege de introductie van een stuksgewijs permanente functie (SGN).
Deze identiteit is alleen van toepassing wanneer de wortels in dezelfde mate hebben. Om de wortels met verschillende mate te vermenigvuldigen, moet je ze eerst naar de wortels converteren met dezelfde mate. Bijvoorbeeld √5 * CUBE√7. Tijdelijk omgezet de voedingsuitdrukkingen in uitdrukkingen met fractionele indicatoren: √5 * CUBE√7 = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6) = (125 * 49) ^ (1/6) = 6125 ^ (1/6). Dat wil zeggen, het bleek de wortel van de 6e graad van 6125.

Methode 5 van 6:

Het verwijderen van multipliers die volledige vierkanten zijn

een

Aangeklas Pocked nummer. Boeren zijn enkele cijfers bij het vermenigvuldigen dat het oorspronkelijke aantal wordt verkregen. Bijvoorbeeld 5 en 4 zijn twee multipliers van nummers 20. Als een geheel getal-root niet uit het verleden kan worden verwijderd, spreidt u zo`n aantal voor mogelijke vermenigvuldigers uit en vindt u een volledig vierkant onder hen.

Noteer bijvoorbeeld alle multipliers van het nummer 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 is een vermenigvuldiger 45 (9 x 5 = 45) en een volledig vierkant (9 = 3 ^ 2).

2. Neem een multiplier voor het hoofdbord, dat is een volledig vierkant. 9 is een volledig vierkant, omdat 3 x 3 = 9. Weg van 9 onder het teken van de root en schrijf 3 voordat het teken van de root - onder het teken van de root 5 blijft 5. Als u een nummer 3 in het hoofdbord maakt, wordt deze op zichzelf en nummer 5 vermenigvuldigd, dat wil zeggen, 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Aldus is 3√ 5 een vereenvoudigde vorm van opname √45.

√45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

3. Zoek een volledig vierkant in de vrijstaande uitdrukking met een variabele. Onthoud: √ (a ^ 2) = | a |. Een dergelijke uitdrukking kan worden vereenvoudigd tot "A", maar alleen als de variabele positieve waarden neemt. √ (A ^ 3) kan worden ontleed aan √a * √ (A ^ 2), omdat bij het vermenigvuldigen van dezelfde variabelen, hun indicatoren zijn gevouwen (A * A ^ 2 = A ^ 3).

Dus in de uitdrukking A ^ 3 is een volledig vierkant een ^ 2.

4. Neem een variabele voor het hoofdbord, dat is een volledig vierkant. Weg af van een ^ 2 onder het hoofdbord en schrijf "A" op voor het teken van de root. Dus, √ (a ^ 3) = A√a.

vijf. Geef dergelijke leden en vereenvoudig elke rationele uitdrukkingen.

Methode 6 van 6:

Verlichting van de wortels in de noemer (rationalisatie van de noemer)

een. Volgens Canonical Form noemer, Indien mogelijk moeten alleen gehele getallen (of polynoom in het geval van een variabele aanwezigheid) omvatten).

Als de noemer nietig is onder het hoofdbord, bijvoorbeeld [teller] / √5, vermenigvuldigt u de teller en de noemer op deze root: ([Teller] * √5) / (√5 * √5) = ([Teller] * √5) / vijf.

In het geval van kubieke wortel of root een grotere mate vermenigvuldig de teller en de noemer naar de root met een gemonteerde uitdrukking in de juiste mate om de noemer te rationaliseren. Als bijvoorbeeld in de noemer een CUBE√5 is, vermenigvuldig de teller en de noemer voor CUBE√ (5 ^ 2).

Als de noemer een uitdrukking is in de vorm van een som of het verschil in vierkante wortels, vermenigvuldig de teller en de noemer voor een conjugaatuitdrukking, dat wil zeggen, de uitdrukking met het tegenovergestelde teken tussen zijn leden. Bijvoorbeeld: [Cijferator] / (√2 + √6) = ([Teller] * (√2 - √6)) / ((√2 + √6) * (√2 - √6)). Dan, met behulp van de formule van het vierkant verschil ((A + B) (A - B) = A ^ 2 - B ^ 2) Rationaliseer de noemer: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√ 2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.

Vierkantverschilformule kan ook worden toegepast op de expressie van de vorm 5 + √3, omdat een geheel getal een vierkantswortel is van een ander geheel getal. Bijvoorbeeld: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22

Deze methode kan worden toegepast op de som van vierkante wortels, zoals √5 - √6 + √7. Als het is om deze uitdrukking in het formulier te groeperen (√5 - √6) + √7 en vermenigvuldig het op (√5 - √6) - √7, u wordt niet van de wortels af en krijgt u de uitdrukking van de Type A + B * √30, waar "A en" B "- niet-geroepeerd zonder root. Dan kan de resulterende uitdrukking worden vermenigvuldigd met het conjugaat: (A + B * √30) (A - B * √30) om van de wortels af te komen. Dat wil zeggen, als je een eenmaal een conjugate expressie kunt gebruiken om een bepaald aantal wortels af te komen, dan kunnen ze zoveel mogelijk worden gebruikt om van alle wortels af te komen.

Deze methode is ook van toepassing op de wortels van hogere graden, bijvoorbeeld, naar de uitdrukking "4e graad root van 3 plus een 7e graad root van 9". Vermenig in dit geval de tepel en de noemer met de uitdrukking, conjugaatuitdrukking in de noemer. Maar hier zal de conjugaatuitdrukking iets anders zijn in vergelijking met die hierboven beschreven. Over deze zaak kan worden gelezen in tekstboeken op Algebra.

2. Vereenvoudig de teller nadat u de roots hebt afgedaan in de noemer. In de teller is er een product van de oorspronkelijke uitdrukking en conjugate expressie. Open beugels, bewegende de bijbehorende leden. Breng dergelijke leden en, als je kunt, vereenvoudig de resulterende uitdrukking.

3. Als de noemer een negatief geheel getal is, vermenigvuldig de teller en de noemer op -1 om dit nummer naar een positief te converteren.

Tips

Op internet zijn er middelen die de invoeruitdrukkingen automatisch vereenvoudigen. U hoeft alleen maar uw voedingsexpressie in te voeren en op ENTER te drukken om een vereenvoudigde uitdrukking weer te geven.
Aan sommige eenvoudige taken kunnen de beschreven methoden niet worden toegepast. In het geval van een aantal complexe taken, moeten deze methoden meer dan eens worden toegepast. Stap voor stap vereenvoudigen de ontvangen uitdrukkingen en controleer of de uiteindelijke reactie in canonieke vorm is geschreven, waarvan de criteria aan het begin van dit artikel worden gegeven. Als het antwoord in canonieke vorm wordt gepresenteerd, is de taak opgelost - Anders profiteer u van de beschreven methoden.
In de regel geldt de canonieke vorm van opname op complexe getallen (I = √ (-1)). Zelfs als het complexe nummer in de vorm i is geschreven, is het niet de root, het is beter om van I in de noemer af te komen.
Sommige van de hier beschreven methoden impliceren werken met vierkante wortels. Algemene principes zijn hetzelfde voor kubieke wortels of wortels van hogere graden, maar ze zijn vrij moeilijk om enkele methoden toe te passen (met name de methode van rationalisatie van de noemer). Vraag bovendien de leraar over het juiste verslag van de wortels (CUBE√4 of CUBE√ (2 ^ 2)).
In sommige secties van dit artikel wordt het concept van "canonieke vorm" niet helemaal correct gebruikt - in feite moeten we praten over het "standaardvorm". Het verschil ligt in het feit dat de canonieke vorm vereist om 1 + √2 of √2 + 1- standaardformulier op te nemen, houdt in dat beide expressies (1 + √2 en √2 +1) ongetwijfeld gelijk zijn, zelfs indien vastgelegd in verschillende manieren. Hier, onder de "ongetwijfeld" rekenkunde (toevoeging commutatie), en geen algebraïsche eigenschappen (√2 is een niet-negatieve root van x ^ 2-2).
Als de beschreven methoden dubbelzinnig lijken of elkaar in tegenspraak kunnen zijn, voert u consistente en ondubbelzinnige wiskundige acties uit en schrijf het antwoord als de leraar vereist of zoals geaccepteerd in het leerboek.

Deel in het sociale netwerk:

Hoe de arrogantie te vereenvoudigen

Stappen

Tips