Hoe de multi-graden polynomen (vierkante vergelijking) te ontbinden

Het polynoom bevat een variabele (X), opgericht in een diploma en verschillende leden en / of gratis leden. Ontbinding van polynomen op vermenigvuldigers - het splitsen in korte en eenvoudige polynomen, die met elkaar worden vermenigvuldigd met elkaar. Het vermogen om de polynoom te verspreiden naar vermenigvuldigers vereist voldoende wiskundige kennis en vaardigheden.

Stappen

Methode 1 van 7:

Primaire stappen

een. Noteer de vergelijking. Standaardvorm van de vierkante vergelijking:

AX + BX + C = 0
Regelende leden die beginnen met de hoogste orde. Overweeg een voorbeeld:

6 + 6x + 13x = 0
Geef deze vergelijking aan de standaardvorm van een vierkante vergelijking (gewoon door de leden te veranderen):

6x + 13x + 6 = 0

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 2

2. Verspreid op vermenigvuldigers met behulp van een van de onderstaande methoden. Ontbinding van polynomen op vermenigvuldigers is een splitsing van het tot korte en eenvoudige polynomen die met elkaar worden vermenigvuldigd.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In dit voorbeeld zijn Bicked (2x +3) en (3x + 2) multipliers van de originele polynomiale 6x + 13x + 6.

Titel afbeelding Factor Second Degree Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 3

3. Bekijk het werk door leden en toevoeging van dezelfde (soortgelijke) leden te vermenigvuldigen.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(waarbij 4 en 9x vergelijkbare leden zijn). We hebben dus op de juiste manier een polynoom afgebonden aan vermenigvuldigers, omdat met hun vermenigvuldiging we de originele polynoom ontvingen.

Methode 2 van 7:

Oplossing en foutoplossingen

Als u een vrij eenvoudig polynoom krijgt, kunt u het onafhankelijk ontbinden op multipliers. Bijvoorbeeld, ervaren wiskundigen kunnen onmiddellijk bepalen wat polynoom 4x + 4x + 1 Het heeft multipliers (2x + 1) en (2x + 1). (Opmerking, deze methode is niet zo eenvoudig bij het ontbinden van een complexere polynoom.) Overweeg een voorbeeld:

3x + 2x - 8

een. Noteer het paar factoren van coëfficiënten A en C. De uitdrukking van het zicht gebruiken AX + BX + C = 0, Bepaal de coëfficiënten A en C. In ons voorbeeld

A = 3 en multipliers: 1 * 3
C = -8 en multipliers: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 5

2. Schrijf twee paar haakjes met spaties, in plaats daarvan die gratis leden hebben gevonden:

(x) (x)

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 6

3. Voorkant X Zet een paar factoren voor de coëfficiënt A. In ons voorbeeld is een dergelijk stel slechts één:

(3x) (1x)

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 7

4. Na X Zet een paar vermenigvuldigers voor met. Stel dat we 8 en 1 duren. We krijgen:

(3xacht) (Xeen)

Titel afbeelding Factor Second Degree Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 8

vijf. Beslissen welk teken tussen X en cijfers (gratis leden). Afhankelijk van de borden in de bronvergelijking, kunt u tekens voor de vrije leden definiëren. Duidt vrije leden aan in onze biccins-multipliers door H en K:

Als AX + BX + C, (x + h) (x + k)
Als bijl BX - C of AX + BX - C is, (x - H) (x + k)
Als AX - BX + C, (X - H) (X - K)
In ons voorbeeld 3x + 2x - 8, daarom (x - H) (x + k) en

(3x + 8) (x - 1)

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomialen (kwadratische vergelijkingen) Stap 9

6. Controleer de resultaten door uitdrukkingen tussen haakjes te verplaatsen. Als het tweede lid al (van de variabele X) onjuist is (ongeacht, negatief of positief), hebt u gekozen niet het paar vermenigvuldigers C.

(3x + 8) (x - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8Thnafter, bij het vermenigvuldigen van multipliers, verkrijgen we een uitdrukking die niet gelijk is aan de initiële middelen betekent dat we niet het paar factoren hebben gekozen.

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 10

7. Verander een paar multipliers C. Neem in ons voorbeeld 2 en 4 in plaats van 1 en 8.

(3x + 2) (x - 4)
nutsvoorzieningen C = -8. Echter (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, dat wil zeggen, nu B = -10x, en in de eerste vergelijking B = 2x (heb fout B).

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 11

acht. Wijzig de procedure voor vermenigvuldigers. We veranderen plaatsen 2 en 4:

(3x + 4) (x - 2)
C Wat zou moeten zijn (4 * -2 = -8). -6x + 4x Geef ons de juiste waarde (2x), maar het verkeerde teken ervoor (-2x in plaats van + 2x).

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 12

negen. Verander tekenen. De procedure voor leden tussen haakjes laat hetzelfde, maar verander de borden:

(3x - 4) (x + 2)
C Wat moet (-8) en

B= 6x - 4x = 2x
2x = 2xZoals gevraagd. We vonden dus de juiste factoren van de oorspronkelijke vergelijking.

Methode 3 van 7:

Oplossing door ontbinding

Met behulp van deze methode kunt u alle factoren van de coëfficiënten definiëren A en C en gebruik ze bij het vinden van multipliers van deze vergelijking. Als de cijfers groot zijn of u moe bent van het raden, gebruik dan op deze manier. Overweeg een voorbeeld:

6x + 13x + 6

een. Vermenigvuldig de coëfficiënt A (6 in ons voorbeeld) op de coëfficiënt C (ook 6 in ons voorbeeld).

6 * 6 = 36

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomialen (kwadratische vergelijkingen) Stap 14

2. Zoek de coëfficiënt B Ontbinding van vermenigvuldigers en follow-upcontrole. We zijn op zoek naar twee cijfers die, bij vermenigvuldigen, een resultaat geven gelijk aan het resultaat van vermenigvuldiging A * C (In ons voorbeeld 36), en wanneer het toevoegen van toevoeging een resultaat op de coëfficiënt B (in ons voorbeeld 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 15

3. Vervang twee nummers gevonden in de bronvergelijking als een som (die gelijk is B). Duiden op de gevonden cijfers K en H (Procedure is niet belangrijk):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 16

4. Verspreid de polynoom naar groepsfaciliteiten. Groepsleden van de oorspronkelijke vergelijking om de grootste algemene multipliers van de eerste twee en laatste twee leden te verdragen. Tegelijkertijd zouden uitdrukkingen in beide beugels hetzelfde moeten zijn. Gemeenschappelijke vermenigvuldigers organiseren in de uitdrukking en vermenigvuldig het aan dezelfde uitdrukking tussen haakjes.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Methode 4 van 7:

Drievoudige methode

Erg vergelijkbaar met de ontbindingsmethode. Deze methode beschouwt mogelijke vermenigvuldigingsresultaten A op de C en gebruikt ze om een waarde te vinden B. Overweeg een voorbeeld: 8x + 10x + 2

een. Vermenigvuldigen A (8 in voorbeeld) op C(2 in voorbeeld).

8 * 2 = 16

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomialen (kwadratische vergelijkingen) Stap 18

2. Zoek twee cijfers die 16 op vermenigvuldigen zullen geven, en het resultaat waarvan het resultaat is aan de coëfficiënt B (10 in voorbeeld).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 19

3. Vond twee nummers (duiden ze aan H en K) Vervanger in de volgende vergelijking (formule "triple-methode"):

((AX + H) (AX + K)) / A

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Titel afbeelding Factor Second Degree Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 20

4. Ontdek welke expressie in beide beugels volledig is onderverdeeld in A. In ons voorbeeld is deze uitdrukking (8x + 8). Verdeel deze uitdrukking op A, En laat de uitdrukking van de tweede beugel zoals het is.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Verdeel deze uitdrukking op 8 (A) en krijg (x + 1)

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomialen (kwadratische vergelijkingen) Stap 21

vijf. Neem de grootste gemeenschappelijke verdeler (knooppunt) van een of beide beugels (als het is). In ons voorbeeld is het knooppunt van expressie van de tweede haakjes 2 (sinds 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Dus krijgen we

2 (x + 1) (4x + 1)

Methode 5 van 7:

Vierkant verschil

Sommige polynomiale coëfficiënten kunnen worden geïdentificeerd als "vierkanten" (werk van twee identieke nummers). Met het vinden van "vierkanten" kunt u de ontbinding van de polynoom naar vermenigvuldigers versnellen. Overweeg een voorbeeld:

27x - 12 = 0

een. Voer de meest voorkomende gedeelde verdeler uit voor beugels (als het is). In ons voorbeeld zijn 27 en 12 verdeeld in 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Titel afbeelding Factor Second Degree Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 23

2. Bepaal dat de initiële vergelijking het verschil van twee vierkanten is.De vergelijking moet twee leden van waaruit de vierkantswortel kan worden verwijderd.

9x = 3x * 3x en 4 = 2 * 2 (merk op dat we een minteken laten vallen)

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 24

3. Vervangingswaarden A en C In de uitdrukking van de vorm:

(√ (a) + √ (c)) (√ (a) - √ (c))

In ons voorbeeld A = 9 I C = 4, √A = 3 en √C = 2. Dus,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Methode 6 van 7:

De formule voor het oplossen van een vierkante vergelijking

Als andere methoden niet werken en het polynoom niet ontbindt op factoren, gebruik dan de oplossingen van de vierkante vergelijking. Overweeg een voorbeeld:

X + 4x + 1 = 0

een. Onderdompelen de juiste waarden in de formule:

x = -B ± √ (B - 4AC)
---------------------
2a
We krijgen expressie:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomen (kwadratische vergelijkingen) Stap 26

2. Vinden X. Je moet twee betekenissen krijgen X. Zoals hierboven wordt weergegeven, vinden we twee oplossingen:

x = -2 + √ (3) of x = -2 - √ (3)

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomialen (kwadratische vergelijkingen) Stap 27

3. Vervangingswaarden gevonden X in plaats van H en K In de uitdrukking van de vorm:

(X - H) (x - k)

(X - (-2 + √ (3)) (X - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Methode 7 van 7:

Rekenmachine

Als u een grafische rekenmachine kunt gebruiken, wordt het proces van ontleding van polynomialen aanzienlijk vereenvoudigd. Hieronder staan instructies voor grafische rekenmachine TI. Overweeg een voorbeeld:

Y = x - x - 2

een. Voer je vergelijking in [Y =].

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 29

2. Druk op [GRAFIEK] om een grafiek van de vergelijking te maken. Je ziet een soepele curve (in ons geval een parabola, omdat dit een vierkante vergelijking is).

Titel afbeelding Factor Tweede graad Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 30

3. Zoek de punten van kruising van de parabool met de x-as. Dus je zult waarden vinden X.

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Als u de coördinaten visueel niet kunt bepalen, drukt u op [2ND] en vervolgens [TRACE]. Klik op [2] of selecteer "nul". Laad de cursor naar het linker kruispunt en druk op [ENTER]. Laad de cursor naar de juiste kruising en druk op [ENTER]. Calculator zelf bepaalt de waarden X.

Titel afbeelding Factor Second Degree Polynomials (kwadratische vergelijkingen) Stap 31

4. Vervangingswaarden X in plaats van H en K In de uitdrukking van de vorm:

(x - H) (x - k) = 0

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

Als u een grafische TI-84-rekenmachine hebt, is er daarvoor een oplosserprogramma dat vierkante vergelijkingen (en in algemene vergelijkingen van elke mate oplost).
Als het lid niet in de polynoom is, is de coëfficiënt gelijk aan 0. Als u een dergelijk geval hebt, is het nuttig om de vergelijking in het formulier te herschrijven:

x + 6 = x + 0x + 6
Als u een polynoom heeft gelegd met behulp van een formule voor het oplossen van een vierkante vergelijking en een reactie op wortels ontvangt, om te zetten waarden X in een fractie om het te controleren.
Als er met een onbekende (variabele) geen coëfficiënt is, is het gelijk aan 1.

x = 1x
Na verloop van tijd leert u de methode van monsters en fouten in mijn hoofd te houden. En laat het dan schrijven.

Waarschuwingen

Als u de ontleding van polynomen in klassen bestudeert, gebruikt u de methode die de leraar adviseert, en niet degene die u leuk vindt. De leraar aan het examen kan het gebruik van een bepaalde manier vereisen en kan verbieden met behulp van een grafische rekenmachine.