Hoe polynomen op te lossen

In de wiskunde is een polynoom (of polynoom) het bedrag of een verschil van een-bedden. Geplagneerd omvatten variabelen en constante, bijvoorbeeld, single-venster zijn 4, -10x en 3x. De polynoom bestaat uit een eindig aantal enkelvleugel, dat geen negatieve indicatoren van graad (X), variabelen in de noemer (1 / x) en variabelen onder het vierkante-bord bevat. Om de polynoom op te lossen, moet u achterhalen op welke waarden x de polynoom nul is.

Stappen

Methode 1 van 5:

Registreer polynoom

een. Schik de leden van het polynoom in aflopende volgorde van graadindicatoren. Herschrijf dit polynoom, zodat het lid met de hoogste graadstarief eerst is en een lid met de minste indicator - de laatste. Een polynomiale -1 + 3x - x zal dit bijvoorbeeld herschrijven: -x + 3x- 1.

Vergeet niet dat een negatief lid altijd negatief zal zijn, zelfs als u het naar het eerste lid schrijft. Kijk naar het vorige voorbeeld --x -x was negatief (omdat het werd afgetrokken), dus bleef hij negatief toen je het opneemde met het eerste lid.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 2

2. Vereenvoudig de polynoom. Soms bevat elk lid van de polynoom een vermenigvuldiger, die kan worden bereikt door haakjes en, dus het vereenvoudigen van polynoom. In een polynoom van 2x + 4x - 12 wordt elk lid bijvoorbeeld verdeeld in 2, dat wil zeggen, 2 kan uit de beugels worden gehaald: 2 * (x + 2x - 6), terwijl de waarde van het oorspronkelijke polynoom niet zal verandering. Vergeet niet dat deze methode alleen van toepassing is wanneer elk lid een algemene vermenigvuldiger heeft.

Om de berekeningen te controleren, vermenigvuldig elk lid op 2. De initiële polynoom moet worden verkregen: 2x + 4x - 12 = (2 * x) + (2 * 2x) - (2 * 6)

Deze methode is van toepassing op variabelen, bijvoorbeeld: 3x * (x + 3) = 3x + 9x.

Neem altijd de grootste multiplier voor haakjes. In de 10x + 20x polynoom voor haakjes is het niet alleen 2, maar ook 10x.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 3

3. Bepalen of het mogelijk is om de polynoom op te lossen. Vergeet niet dat het polynoom een eindig aantal enkelvleugel bevat, dat geen negatieve graad (x) negatieve indicatoren, variabelen in de noemer (1 / x) en variabelen onder het vierkante-teken bevat. Als ten minste één van deze voorwaarden niet is voldaan, wordt deze vergelijking opgelost door methoden die niet in dit artikel worden beschouwd.

Houd er rekening mee dat polynomen aangeven welke mate 4 (x) en hoger is, het is erg moeilijk om te beslissen, maar hiervoor kunt u de grafische rekenmachine gebruiken.

Als u het polynoom in de aflopende volgorde van indicatoren stroomlijnt, wordt deze in standaardformulier vastgelegd.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 4

4. Denk aan de belangrijkste wiskundige termen. Het is vrij moeilijk om polynomen op te lossen, als u de terminologie niet kent. Onthoud de volgende voorwaarden:

Gepland (of slechts een lid) is een wiskundige uitdrukking die een constante, variabele of constante en variabele omvat. Bijvoorbeeld 5, X, 3T, 15Y.

Polynoom (of polynoom) - Dit is het bedrag of een verschil van een-bedden.

Het aantal is het nummer dat, wanneer, wanneer, wanneer ze vermenigvuldigen, het derde nummer aan een ander nummer geeft. Multipliers 10 zijn bijvoorbeeld nummers 2, 5, 1, 10, aangezien elk van deze nummers, worden vermenigvuldigd met een ander nummer, 10. Multiplers kunnen variabelen zijn, bijvoorbeeld, multiplers van 10x zijn 2, 5, 1, 10 en x.

De graad is het grootste tempo van de mate van variabele die is opgenomen in de polynoom. Bijvoorbeeld, een polynoom x + 3x + 55 is een polynoom van de vijfde graad.

Drie muffe is een polynoom die bestaat uit drie homorals, bijvoorbeeld 2x + x + 12.

Twee (of binom) is een polynoom die uit twee homorals bestaat, bijvoorbeeld x + 9. Houd er rekening mee dat sommige polynomen kunnen worden ontleed aan multipliers van twee en meer uitsmijter.

Methode 2 van 5:

Ontbinding van drie stakeholders

een. Los een polynoom op die wordt gegeven in de vorm van drie. Dit artikel bespreekt slechts vierkante drie-meter (de indicator van hun diploma is niet groter dan 2, bijvoorbeeld x, 3x, enzovoort), omdat dergelijke drie fasen het meest gebruikelijk zijn en ze gemakkelijk oplossen. Drie moeten ontbinden op het werk van twee Eerstegraads Benomes. Overweeg een voorbeeld: X + 9x - 20.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 6

2. Vergeet niet dat Threesties op vermenigvuldigers in twee Benomes kunnen worden ontleed. Om drie beslissingen op te lossen, is het noodzakelijk om het te vereenvoudigen, en hiervoor ontbinden het drievoudig om twee benomen te werken, waarvan de indicator niet hoger is dan 1 (bijvoorbeeld X, 5X enzovoort). Onthoud de volgorde van vermenigvuldiging van twee bouncements: de eerste leden, de eerste en tweede leden, de tweede en de eerste leden, de tweede leden. Bijvoorbeeld, gedraaid (x + 3) en (x + 2):

(x + 3) (x + 2)

Eerste leden. De eerste leden zijn x.

x * x = X

Eerste en tweede leden. Het eerste lid is X, en de tweede 2.

x * 2 = 2x

Tweede en eerste leden. De tweede term is 3, en de eerste X.

3 * x = 3x

Tweede leden. De tweede leden zijn 3 en 2.

3 * 2 = 6

Vouw de resultaten om een polynoom te krijgen: X + 3x + 2x + 6.

Vouw (of aftrek) soortgelijke leden om de polynoom te vereenvoudigen (soortgelijke leden zijn leden met een variabele met dezelfde mate-indicator): x + 5x + 6

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 7

3. Spread Three-inzetten. De meeste drie-inzetten kunnen worden ontleed aan twee factoren, die elk twee-graden zijn gedraaid. Deze methode bevat monster- en foutmethode. Let op het volgende:

De eerste looptijd van drie-mela (x) is het resultaat van vermenigvuldigen van de eerste leden van elke twee.

Het tweede lid van drie gedeclareerde (X) is de som van de resultaten van vermenigvuldiging van de eerste en tweede en tweede en eerste leden van elke twee.

Het derde lid van de drie gedeclareerde (6) is het resultaat van het vermenigvuldigen van de tweede leden van elke twee.

Als de derde pen negatief is, dan is het tweede lid van een van de wijdzame negatief.

Noteer de ontbinding van de drie-slagen op het stuk draaien in de vorm van x + x - 6 = (__ +/- __) (__ + / -__), dat wil zeggen, u moet soepel vinden en deze vervangen in plaats van spaties.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 8

4. Zoek de eerste shakes (voor elk paar haakjes). Overweeg een voorbeeld: x + x - 20. Om de eerste te vinden, kijk dan naar het eerste lid van drie en plaats het op de paren van de eenvoudigste multipliers. In ons voorbeeld zijn dergelijke factoren x en x, sinds x * x = x.

Gevonden soepel om te vervangen in plaats van de eerste spaties in elk paar haakjes: (x + / -__) (x +/- __)

Vergeet niet dat het vierkant elke variabele of constante is, vermenigvuldigd met zich.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 9

vijf. Zoek twee cijfers waarvan het werk het derde lid is van drie. Om dit te doen, kijk dan naar het derde lid van drie schoenen en verspreid het op alle mogelijke vermenigvuldigbare paren. In ons voorbeeld (de derde term is de nummer -20) zijn dergelijke paren van vermenigvuldigers de volgende nummers:

-10 * 2 = 20

10 * -2 = -20

-4 * 5 = -20

4 * -5 = -20

Het oplossen van complexe polynomen, u kunt decimale breuken (-3 * 6.6666) gebruiken, maar dergelijke polynomen zijn erg moeilijk om te beslissen, omdat het bijna onmogelijk is om de methode van monsters en fouten toe te passen. Geniet in dergelijke gevallen van een grafische rekenmachine.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 10

6. Onder die gevonden (bij de vorige stap) selecteren paren van vermenigvuldigers een dergelijk aantal nummers, wanneer het tweede lid is voorbereid, is het tweede lid drie. Constant (constant) staat altijd voor de variabele. In ons voorbeeld is het tweede lid van Three-Shots x. Omdat de constante niet is opgegeven, is het gelijk aan 1, omdat x * 1 = x. U moet dus zo`n aantal nummers kiezen, wanneer de toevoeging verkregen 1. In ons voorbeeld zijn een dergelijk paar nummers -4 en 5: -4 + 5 = 1. Dus het werk van bounces zal er als volgt uitzien: (x - 4) (x + 5).

Positieve getallen worden geïdentificeerd met toevoeging, en negatief - met aftrekking.

Opmerking: Houd rekening met de constante van het eerste lid van drie. Als bijvoorbeeld, indien in ons voorbeeld, de eerste termijn van drie declets is 3x, dan wordt een dergelijke triple niet opgelegd op vermenigvuldigers (3x - 4) (x + 5), aangezien in dit geval het bedrag van de resultaten van de resultaten van de Werkt van de eerste en tweede leden en de tweede en eerste leden zijn niet gelijk aan 1: 15 + (-4) = 11. Hier moet je een ander paar nummer -20-factor kiezen.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 11

7. Vermenigvuldig leden van de bounces om het resultaat te controleren. In ons voorbeeld:

(x - 4) (x + 5)

Eerste leden. x * x = x

Eerste en tweede leden. x * 5 = 5x

Tweede en eerste leden. -4 * x = -4x

Tweede leden. -4 * 5 = -20

Vouw de resultaten om een polynoom te krijgen: x + 5x - 4x - 20

Vouw of aftrek vergelijkbare leden: x + x - 20

Omdat de resulterende droefheid samenvalt met de bron, is de oplossing correct.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 12

acht. Oefenen in de ontbinding van drie-inzetten op multipliers. Zo`n drie keer moeilijker om te lagen dan anderen. Probeer de volgende vierkanten op de factoren te ontbinden en de ontvangen reacties met het volgende vergelijken.

Eenvoudige taak: X + 4x + 3.

Antwoord: (x + 1) (x + 3)

Normale taak: X - 9 + 18.

Antwoord: (x - 3) (x - 6)

Moeilijke taak: 4x - 2x -6

Antwoord: (2x - 3) (2x + 2)

Methode 3 van 5:

Besluit van polynomen

een. Om het polynoom op te lossen, moet je het gelijk aan nul. De taken vereisen "om de waarden van de variabele te vinden waarin het polynoom 0" is, of "de wortels van de polynoom", of eenvoudig "de polynomiale" vinden ". Gebruik de tips in het eerste deel van dit artikel voordat u het polynoom op nul gelijk aanhoudt. Overweeg een voorbeeld: 3x (2x - 4) (x + 5) = 0.

De wortels van het polynoom bevinden zich waar het nul is, dat wil zeggen, het is een punt (op het coördinaatvlak), waarin de grafiek van de polynominale functie de x-as (horizontale as) kruist.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 14

2. Gelijk elke biccoon (als je een polynoom hebt ontbonden voor multipliers) tot nul. Omdat de polynoom wordt geweigerd tot verschillende factoren, is de hoofdtaak verdeeld in verschillende subtaken. Als 0 wordt vermenigvuldigd met elke expressie of nummer, wordt het 0 uitgeschakeld, zodat u elke multiplicator afzonderlijk kunt overwegen. Dus in ons voorbeeld is de taak verdeeld in 3 subtaken:

Vergelijking A: 3x = 0

Vergelijking B: 2x - 4 = 0

Vergelijking C: x + 5 = 0

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 15

3. Bepaal alle vergelijkingen, dat wil zeggen, "x" vinden. Elke beslissing is de wortel van de originele polynoom. Om "X" te vinden, scheid deze variabele aan één kant van de vergelijking.

Vergelijking A: Ontdaan 3-weg naar de volgende divisie: 3x / 3 = 0/3.

x = 0

Vergelijking B: 2x - 4 +4 = 0 + 4

2x / 2 = 4/2

x = 2

Vergelijking C: x + 5 - 5 = 0 - 5

x = -5

Je hebt de wortels van de polynoom gevonden.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 16

4. Om het antwoord te controleren, vervangt u de waarden die in de originele polynoom zijn gevonden. Dit is een snelle en betrouwbare manier om elk besluit te controleren. In plaats van "x" vervangen de gevonden waarden - als de oplossing correct is, is de polynoom gelijk aan 0.

x = 0: (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0

(0) (- 4) (- 5) = 0

0 = 0

Het antwoord is goed. Controleer de resterende waarden van "X".

Methode 4 van 5:

Oplossing van complexe polynomen

een. Vereenvoudig de polynoom. Om dit te doen, plaats het op het werk van gedraaid en drie. Het product (x-5) (x + x - 20) kan bijvoorbeeld in twee vergelijkingen worden verdeeld en deze afzonderlijk op te lossen.

Als een hoog opgegeven een hoge graad is, bijvoorbeeld x, dan kan het als volgt worden geschreven: (x), die zijn beslissing aanzienlijk zal vereenvoudigen.

Bijvoorbeeld x + 2x + 4 = (x + 2) (x + 2)

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 18

2. Los een polynoom op die wordt gegeven in de vorm van een verschil van twee kubussen. Als het aantal of variabele kubus wordt afgetrokken van de kubus van een ander aantal of variabele, bijvoorbeeld X - 8, kan een dergelijk verschil worden ontleend aan het product van gedraaide en drie gedeclareerd door de formule van verkorte vermenigvuldiging: (A - B) (A + AB + B) = A - B

In ons voorbeeld A = X, B = 2 (sinds 2 = 8). Daarom x - 8 = (x - 2) (x + 2x + 8).

Om te begrijpen hoe deze formule wordt weergegeven, open Deze pagina (in Engels).

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 19

3. Leer een vierkante vergelijking op te lossen. Vierkante vergelijking is een polynoom van de tweede graad gelijk aan nul. Vierkante vergelijking kan worden gebruikt om complexe polynomen op te lossen zonder een grafische rekenmachine. Met behulp van de formule voor het oplossen van de vierkante vergelijking kunt u snel de wortels van de polynoom vinden.

Methode 5 van 5:

Een grafische rekenmachine gebruiken

een. Gebruik een grafische rekenmachine om een complexe polynoom op te lossen. Gecompliceerde polynomen zijn polynomen met een groot aantal leden, oneven indicatoren van de graad of verborgen multipliers. Grafische rekenmachine vindt wortels in de automatische modus. De gemakkelijkste manier om de ZEROS-functie (nullen) te gebruiken.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 21

2. Voer een polynoom in de grafische rekenmachine in. In de regel wordt dit gedaan op het scherm y = _____ of f (x) _____ (het polynoom wordt ingevoerd in plaats van spaties).

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 22

3. Kijk naar het schema. Een ingevoerde polynomiale grafiek verschijnt op het calculatorscherm.

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 23

4. Klik op "ZEROS" (ZEROS). Klik in de meest populaire grafische rekenmachines vervaardigd door Texas-instrument op "2nd" - "Calc" - "Zeros". Op andere grafische rekenmachines kan de bijbehorende functie "Roots" (wortels) worden genoemd, "roots roots" (roots calculeer roots), "Calculeer nullen" (Calculeer Zeros).

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 24

vijf. Selecteer punten links en rechts van de gewenste root. Het knipperende punt verschijnt op het diagram. Met behulp van de pijlknoppen, stel het knipperend punt links van het kruispunt van de grafiek in met de ABSCISSA-as. Markeer het geselecteerde punt. Herhaal dit proces om het punt rechts van de gewenste root te markeren.

Calculator zal aanbieden om deze punten te vinden.

Kies niet het hele schema - verhoog het en selecteer Points links en rechts van de vermeende root (dat wil zeggen, de kruispunten van de grafiek met de AXIS X).

Titel afbeelding Solve Polynomials Stap 25

6. Zorg ervoor dat u de punten bepaalt waarin de grafiek eenvoudigweg betreft (maar niet kruisen) de X-as. Dergelijke punten zijn ook rootsvergelijkingen.

Als u de wortels van het polynoom handmatig hebt gevonden, controleert u ze met een grafische rekenmachine. Hiertoe vindt u in de calculator de coördinaten van het snijpunt van de kruising van de grafiek met de Axis X.

Tips

Maak je geen zorgen als de polynoom andere variabelen omvat, bijvoorbeeld t, of als het gelijk is aan F (x) en niet op 0. Als u wortels, nullen of multipliers moet vinden, op te lossen, op te lossen een dergelijke polynoom en elke andere (dat is, zoals beschreven in dit artikel).
Onthoud de procedure voor het uitvoeren van wiskundige bewerkingen. Los eerst de expressie tussen haakjes op, vermenigvuldigen of delen en vervolgens vouwen of aftrekken.

Waarschuwingen

Schrijf het antwoord als het vereist is in de taak.
Dezelfde wiskundige operatie wordt uitgevoerd aan beide zijden van de vergelijking.
Pas de punten voorzichtig toe (om een grafiek te bouwen) op het coördinaatvlak.
De vergelijking moet in een standaardformulier worden ingediend (zoals hierboven beschreven).

Deel in het sociale netwerk: