Hoe een grafiek van een vierkante vergelijking te maken: 10 stappen

Schema van de vierkante vergelijking van AX + BX + C of A (X - H) + K is een parabola (U-vormige curve). Om een grafiek van een dergelijke vergelijking op te bouwen, is het noodzakelijk om de bovenkant van de parabola, de richting en de kruisingspunten met de X- en Y-assen te vinden. Als u een relatief eenvoudige vierkante vergelijking krijgt, kunt u verschillende waarden van "X" vervangen, om de bijbehorende "Y" -waarden te vinden en een schema te bouwen.

Stappen

een. Vierkante vergelijking kan worden vastgelegd in standaardformulier en in niet-standaardvorm. U kunt elke soort vergelijking gebruiken om een vierkante vergelijkingsgrafiek te construeren (de constructiemethode is iets anders). In de regel worden de vierkante vergelijkingen in een standaardvorm gegeven, maar dit artikel zal u vertellen over beide soorten opname van de vierkante vergelijking.

Standaard look: f (x) = AX + BX + C, waarbij A, B, C - geldige nummers en een ≠ 0.

Bijvoorbeeld, twee standaardvergelijkingen: F (x) = x + 2x + 1 en f (x) = 9x + 10x -8.

Niet-standaard look: f (x) = A (x - H) + K, waarbij een, H, K - geldige nummers en een ≠ 0.

Bijvoorbeeld, twee niet-standaardvergelijkingen: F (x) = 9 (x - 4) + 18 en -3 (x - 5) + 1.

Om een grafiek van een vierkante vergelijking van welke aard dan ook te bouwen, moet u eerst een Pearabol-vertex vinden, die coördinaten (H, K) heeft. De coördinaten van de PEARABOL-hoekpunten in de standaardaangiften worden berekend met behulp van de formules: H = -B / 2A en K = F (H) - de coördinaten van de PEARABOL-vertex in de vergelijkingen van niet-standaardsoorten kunnen rechtstreeks van worden verkregen de vergelijkingen.

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 2

2. Om een grafiek te bouwen, is het noodzakelijk om de numerieke waarden van de coëfficiënten A, B, C (of A, H, K) te vinden. In de meeste taken worden vierkante vergelijkingen gegeven met numerieke waarden van coëfficiënten.

Bijvoorbeeld in de standaardvergelijking F (x) = 2x + 16x + 39 A = 2, B = 16, C = 39.

Bijvoorbeeld in een niet-standaard vergelijking F (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 3

3. Bereken H in de standaardvergelijking (in niet-standaard is het al gegeven) door de formule: H = -B / 2A.

In ons voorbeeld van de standaardvergelijking F (x) = 2x + 16x + 39 h = -B / 2A = -16/2 (2) = -4.

In ons voorbeeld van een niet-standaard vergelijking (X) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 4

4. Bereken K in de standaardvergelijking (in niet-standaard is het al gegeven). Vergeet niet dat K = F (H), dat wil zeggen, u kunt vinden K, de gevonden waarde H in de oorspronkelijke vergelijking vervangen in plaats van "X".

Je hebt gevonden dat H = -4 (voor de standaardvergelijking). Om K te berekenen, vervang deze waarde in plaats van "x":

k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

k = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7

In de niet-standaard vergelijking K = 12.

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 5

vijf. Breng een vertex aan met coördinaten (H, K) op het coördinaatvlak. H wordt uitgesteld langs de x-as, en k - langs de y-as. De bovenkant van de parabool is ofwel het laagste punt (als de parabola is gericht), of het bovenste punt zelf (als de parabola is gericht).

In ons voorbeeld van de standaardvergelijking heeft de piek coördinaten (-4, 7). Pas dit punt toe op het coördinaatvlak.

In ons voorbeeld van een niet-standaard vergelijking heeft de piek coördinaten (5, 12). Pas dit punt toe op het coördinaatvlak.

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 6

6. Besteed de as van Symmetry Parabolas (optioneel). De symmetrieas passeert de bovenkant van de parabola parallel aan de y-as (dat is strikt verticaal). De as van symmetrie verdeelt parabola in de helft (dat wil zeggen, parabola is spiegel symmetrisch over deze as).

In ons voorbeeld van de standaardvergelijking is de symmetrie-as een rechte, parallelle as Y en passeert het punt (-4, 7). Hoewel dit direct is en geen deel uitmaakt van de parabool zelf, geeft het een idee van de symmetrie van Parabola.

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 7

7. Bepaal de richting van parabool - omhoog of omlaag. Het is heel gemakkelijk om te doen. Als de coëfficiënt "A" positief is, is Parabola naar boven gericht, en als de coëfficiënt "A" negatief is, is Parabola gericht.

In ons voorbeeld van de standaardvergelijking F (x) = 2x + 16x + 39 parabola gericht, aangezien A = 2 (positieve coëfficiënt).

In ons voorbeeld van een niet-standaard vergelijking F (x) = 4 (x - 5) + 12 parabola is ook gericht, aangezien A = 4 (positieve coëfficiënt).

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 8

acht. Zoek indien nodig de kruispunten met de x-as. Deze punten zullen u helpen bij de bouw van parabool. Er kunnen er twee zijn, een of niet één (als de parabola naar boven is gericht, en de bovenkant is boven de as X, of als de parabola is gericht, en de piek onder de x-as is). Ga als volgt te werk om de coördinaten van de snijpunten met de as te berekenen:

Gelijk aan de vergelijking met nul: f (x) = 0 en beslis het. Deze methode werkt met eenvoudige vierkante vergelijkingen (met name niet-standaardsoort), maar kan buitengewoon moeilijk zijn in het geval van complexe vergelijkingen. In ons voorbeeld:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (x - 12) - 4

4 = 4 (x - 12)

1 = (x - 12)

√1 = (x - 12)

+/ -1 = x -12. PUNT VAN KUNSTIGING VAN PARABOLA MET AXIS X HEBBEN COÖRDINATEN (11.0) EN (13.0).

Verspreid de vierkante vergelijking van een standaardformulier op multipliers: AX + BX + C = (DX + E) (FX + G), waarbij DX × FX = AX, (DX × G + FX × E) = BX, E × G = C. Vervolgens gelijk aan elke bicker op 0 en vind de waarden van "x". Bijvoorbeeld:

x + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

In dit geval is er een enkel woordpunt van de parabola met de as X met coördinaten (-1.0), omdat op x + 1 = 0 x = -1.

Als u de vergelijking op vermenigvuldigers niet kunt ontbinden, beslis het met de hulp van een formule voor het berekenen van de wortels van de vierkante vergelijking: X = (-B +/- √ (B - 4AC)) / 2A.

Bijvoorbeeld: -5x + 1x + 10.

X = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)

x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10

x = (-1 +/- √ (201)) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) en (-1518 / -10). PUNT VAN ONTWERPING VAN PARABOLA MET AXIS X HEBBEN COÖRDINATEN (-1.318.0) EN (1.518.0).

In ons voorbeeld van de standaard van 2x + 16x + 39 vergelijkingen:

X = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39)))))) / 2 (2)

x = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4

x = (-16 +/- √ (-56) / - 10

Aangezien het onmogelijk is om een vierkantswortel uit een negatief getal te extraheren, snelt Parabola in dit geval de X-as niet.

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 9

negen. Zoek indien nodig de kruispunten met de y-as. Het is heel eenvoudig - vervang x = 0 tot de oorspronkelijke vergelijking en vind de waarde van "y". Het kruispunt met de y-as is altijd alleen. OPMERKING: In de standaardmengingen heeft het kruispunt coördinaten (0, C).

Bijvoorbeeld, parabool vierkante vergelijking 2x + 16x + 39 kruist met Axis Y op een punt met coördinaten (0, 39), sinds C = 39. Maar het kan worden berekend:

f (x) = 2x + 16x + 39

f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

F (x) = 39, dat wil zeggen, parabola van deze vierkante vergelijking kruist met de y-as op het punt met coördinaten (0, 39).

In ons voorbeeld van de vergelijking van niet-standaardsoort4 (X - 5) + 12 wordt het snijpunt met de Y-as als volgt berekend:

f (x) = 4 (x - 5) + 12

f (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

F (x) = 112, dat wil zeggen, parabola van deze vierkante vergelijking kruist met de Y-as op het punt met coördinaten (0, 112).

Titel afbeelding Grafiek Een kwadratische vergelijking Stap 10

10. Je hebt gevonden (en afgehandeld) de bovenkant van de parabool, zijn richting en kruispunten met de bijlen X en Y. Je kunt parabolas op deze punten bouwen of extra punten vinden en toepassen en alleen dan een parabola bouwen. Om dit te doen, vervangt u verschillende waarden van "X" (aan beide zijden van de vertex) in de oorspronkelijke vergelijking om de bijbehorende waarden van "Y" te berekenen.

Laten we terugkeren naar de X + 2X + 1-vergelijking. U weet al, het verschijnsel van het kruispunt van het schema van deze vergelijking met de Axis X is het punt met coördinaten (-1.0). Als Parabola slechts één punt van kruising met de Axis X heeft, dan is dit de bovenkant van de parabola die op de x-as ligt. In dit geval is één punt niet genoeg om de juiste parabola te bouwen. Zoek daarom een paar extra punten.

Stel dat x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.

x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Puntcoördinaten: (0,1).

x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Puntcoördinaten: (1.4).

x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Puntcoördinaten: (-2.1).

x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Puntcoördinaten: (-3.4).

Pas deze punten toe op het coördinaatvlak en bouw een parabola (sluit de weergaven van de U-vormige curve aan). Houd er rekening mee dat Parabola absoluut symmetrisch is - elk punt op één tak van parabolen kan worden gespiegeld (ten opzichte van de symmetrie-as) op de andere tak van Parabola. Hiermee bespaart u tijd, omdat u de coördinaten van de punten op beide takken van parabool niet hoeft te berekenen.

Tips

Ronde fractionele nummers (als dit de vereiste van een leraar is) - dus je bouwt de juiste parabola.
Als in f (x) = AX + BX + C-coëfficiënten B of C nul zijn, zijn er geen leden met deze coëfficiënten in de vergelijking. 12x + 0x + 6 wordt bijvoorbeeld in 12x + 6, omdat 0x 0 is.

Deel in het sociale netwerk: