Hoe een terugkerende vergelijking op te lossen

Voordat u een formule van een of andere wiskundige sequentie vindt, is het noodzakelijk om een NTH-lid van deze reeks te vinden, uitgedrukt door het vorige lid van de sequentie (en niet als een functie van N). Het zou bijvoorbeeld leuk zijn om de functie voor het N-TH-lid van Fibonacci-sequentie te kennen, maar vaak hebt u alleen een terugkerende vergelijking die elk lid van Fibonacci-sequentie met twee eerdere leden verbindt. Dit artikel zal u vertellen hoe u de terugkerende vergelijking kunt oplossen.

Stappen

Methode 1 van 5:

Rekenkundige progressie

een. Overweeg de volgorde 5, 8, 11, 14, 17, 20, ....

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 2

2. Elk lid van deze sequentie is groter dan het vorige lid van 3, zodat deze kan worden uitgedrukt door de terugkerende vergelijking in de figuur.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 3

3. Terugkerende vergelijking van type a_N = A_N-1 + D is een rekenkundige progressie.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 4

4. Registreer de formule om het N-TH-lid van de rekenkundige progressie te berekenen, zoals weergegeven in de figuur.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 5

vijf. Onderdun de waarde in de formule van deze reeks. In ons voorbeeld 5 - dit is het 0e lid van de reeks. Dan heeft de formule verschijning a_N = 5 + 3N. Als 5 het 1e-lid van de reeks is, heeft de formule de vorm a_N = 2 + 3N.

Methode 2 van 5:

Geometrische progressie

een. Overweeg de sequentie 3, 6, 12, 24, 48, ....

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 7

2. Elk lid van deze sequentie is groter dan het vorige deel 2 keer, dus het kan worden uitgedrukt door de terugkerende vergelijking in de figuur.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 8

3. Terugkerende vergelijking van type a_N = R * a_N-1 is geometrische progressie.

4. Registreer de formule voor het berekenen van het N-TH-lid van de geometrische progressie, zoals weergegeven in de figuur.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 10

vijf. Onderdun de waarde in de formule van deze reeks. In ons voorbeeld 3 - dit is het 0e lid van de reeks. Dan heeft de formule verschijning a_N = 3 * 2. Als 3 het 1e lid van de reeks is, heeft de formule verschijning a_N = 3 * 2.

Methode 3 van 5:

Polynoom

een. Overweeg een sequentie 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., Gegeven door de terugkerende vergelijking in de figuur.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 12

2. Elke terugkerende vergelijking van de soort getoond in figuur (waarbij p (n) wordt gepold van n), heeft een polynoom, waarvan de indicator 1 groter is dan de indicator.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 13

3. Schrijf een polynoom van de overeenkomstige volgorde. In ons voorbeeld heeft P een tweede bestelling, dus het is noodzakelijk om een kubieke polynoom te schrijven om een sequentie een_N.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 14

4. Sinds vier onbekende coëfficiënten in de kubieke polynoom, schrijf een systeem van vier vergelijkingen. Elke vier zijn geschikt, dus overweeg de 0 OH, de 1e, 2e, 3e leden. Als u wilt, overweeg dan het -1e-lid van de terugkerende vergelijking om het beslissingsproces te vereenvoudigen (maar het is niet noodzakelijk).

Titel afbeelding Solve Herhaling Roos Stap 15

vijf. Bepaal de resulterende graadsysteem (P) +2 vergelijkingen voor de mate (P) = 2 onbekenden zoals weergegeven in de figuur.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 16

6. Als een - Dit is een van de leden die u gebruikt om de coëfficiënten te berekenen, dan vindt u snel een permanent lid van het polynoom en u kunt het systeem vereenvoudigen in de mate (P) +1 vergelijkingen voor de mate (P) +1 onbekenden getoond in de figuur.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 17

7. Bepaal het systeem van lineaire vergelijkingen en KRIJG C₃ = 1/3, c₂ = -5/2, C_een = -17/6, C = 5. Noteer de formule voor een_N in de vorm van een polynoom met bekende coëfficiënten.

Methode 4 van 5:

Lineaire terugkerende vergelijkingen

een. Dit is een van de methoden voor het oplossen van Fibonacci. Deze methode kan echter worden gebruikt om eventuele terugkerende vergelijkingen op te lossen waarin de N-B een lineaire combinatie van eerdere K-leden is. Overweeg een sequentie 1, 4, 13, 46, 157, ....

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 19

2. Schrijf de karakteristieke polynomiale van de terugkerende vergelijking. Om dit te doen, vervang dan een_Nop x en deel de atx- u krijgt een polynomiale graad k en een permanent lid anders dan nul.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 20

3. Beslis de karakteristieke polynoom. In ons voorbeeld heeft het graad 2, dus gebruik de formule voor het vinden van de wortels van de vierkante vergelijking.

Titel afbeelding Solve Relasplaats Stap 21

4. Elke uitdrukking van het uiterlijk in de afbeelding voldoet aan de terugkerende vergelijking. C_I- Dit zijn een constante, en de fundamenten van de graad zijn de wortels van de karakteristieke polynoom (hierboven opgelost).

Als de karakteristieke polynoom verschillende wortels heeft, moet u het volgende doen. Als R de wortel is van multipliciteit m, in plaats van_eenR) gebruik (c_eenR + C₂Nr + C₃nr + ... + C_Mnr). Overweeg bijvoorbeeld de sequentie 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ..., voldoen aan recidiverende vergelijking A_N = 6a_N-1 - 12A_N-2 + 8a_N-3. De karakteristieke polynoom heeft drie wortels en de formule is geschreven als: a_N = 5 * 2 - 7 * N * 2 + 2 * N * 2.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 22

vijf. Zoek een permanente C_I, voldoen aan de initiële omstandigheden. Voor dit recordsysteem van vergelijkingen met de initiële omstandigheden. Sinds in ons voorbeeld van onbekend, noteer het systeem van twee vergelijkingen. Elke twee zijn geschikt, dus overweeg de 0e en 1e leden om de constructie van een irrationeel getal in grotere mate te voorkomen.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 23

6. Los het resulterende systeem van vergelijkingen op.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 24

7. Gevonden constante subhol in de formule.

Methode 5 van 5:

Functies uitvoeren

een. Overweeg de sequentie 2, 5, 14, 41, 122 ..., Gegeven door de terugkerende vergelijking in de figuur. Het kan niet worden opgelost met behulp van een van de hierboven beschreven werkwijzen, maar de formule is via het produceren van functies.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 26

2. Schrijf een sequentie-producerende functie. De productiefunctie is een formele stroomrij, waarbij de coëfficiënt van x een N-TH-lid is van de reeks.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 27

3. Converteer de productieve functie zoals weergegeven in de afbeelding. Het doel van deze stap is om de vergelijking te vinden waarmee u de productiefunctie A (X) kunt oplossen. Verwijder het eerste lid. Pas de terugkerende vergelijking aan voor de resterende leden. Splits het bedrag. Verwijder permanente leden. Gebruik definitie A (x). Gebruik de formule om de hoeveelheid geometrische progressie te berekenen.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 28

4. Zoek het product A (x).

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 29

vijf. Zoek de coëfficiënt wanneer x in een (x). De werkwijzen voor het vinden van de coëfficiënt zijn afhankelijk van het type functie A (x), maar de figuur toont de methode van elementaire fracties in combinatie met de genererende functie van geometrische progressie.

Titel afbeelding Los Herhaling Roos Stap 30

6. Noteer de formule voor een_N, Om de coëfficiënt op x in a (x) te vinden.

Tips

Inductieve methode is ook erg populair. Vaak is het gemakkelijk om (met behulp van de inductieve methode) te bewijzen dat een formule voldoet aan een aantal terugkerende vergelijking, maar het probleem is dat het noodzakelijk is om de formule van tevoren te raden.
Sommige van de beschreven methoden vereisen een grote hoeveelheid computing, die fouten kan inhouden. Controleer daarom de formule voor verschillende bekende omstandigheden.

Deel in het sociale netwerk:

Hoe de terugkerende vergelijking op te lossen

Stappen

Tips