Hoe Algebra (met illustraties)

Na het beheersen van de algebra, kunt u andere wiskundige disciplines leren, die elk gebaseerd zijn op sommige basisprincipes en vaardigheden. De ontwikkeling van dergelijke vaardigheden kan een moeilijke taak zijn voor degenen die voor het eerst worden geconfronteerd met wiskunde. Als dit jouw zaak is, wees dan niet nerveus - lees dit artikel waarin uitleg wordt gegeven, voorbeelden en tips, dankzij wat u problemen kunt oplossen als een ervaren wiskundige.

Stappen

Deel 1 van 5:

Hoofdalgebraïsche regels

een. Grote wiskundige operaties. Eerste, beheer de belangrijkste wiskundige operaties: toevoeging, aftrekking, vermenigvuldiging en divisie. Dit is de eerste stap op de studie van Algebra. Als u deze operaties niet durft, is het moeilijk voor u om meer complexe algebraïsche concepten te leren. We raden u aan een artikel te lezen Hoe wiskunde te studeren.

Niet noodzakelijk wiskundige operaties in de geest. In de meeste gevallen mag u de rekenmachine gebruiken. Maar het is beter om de principes van wiskundige bewerkingen handmatig te assimileren voor het geval u de rekenmachine niet kunt gebruiken.

2. Onthoud de juiste procedure voor het uitvoeren van operaties: Voer een uitdrukking uit tussen haakjes, neem een diploma, vermenigvuldigen, delen, vouwen, aftrekken. We geven de juiste procedure voor de implementatie van wiskundige bewerkingen:

Expressie tussen haakjes

In de graad uiten

Vermenigvuldiging

Divisie

Toevoeging

Aftrekking

De procedure voor het uitvoeren van operaties is belangrijk omdat de uitvoering van bewerkingen niet is om tot een onjuist resultaat te leiden. Als een uitdrukking bijvoorbeeld 8 + 2 x 5 is, dan vouwt u 8 en 2, ontvangt u 10 x 5 = 50. En als u eerst 2 en 5 vermenigvuldigt, krijgt u 8 + 10 = 18. Het tweede resultaat is trouw en de eerste.

3. Leer werken met negatieve getallen. Algebra gebruikt negatieve getallen, dus je moet weten hoe ze ze kunnen toevoegen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Hieronder staan enkele basisprincipes van het werken met negatieve getallen.

Het numerieke directe negatieve getal bevindt zich op dezelfde afstand van nul als de waarde die gelijk is aan het (maar in de tegenovergestelde richting).

Wanneer u twee negatieve nummers toevoegt, krijgt u een kleiner negatief getal (de resultaatmodule is groter dan de twee gevouwen cijfersmodules, en in feite minder, omdat deze negatieve getallen zijn).

Wanneer u een negatief getal aftraft, kunt u twee tekens "minus" op het "Plus" -teken vervangen, dat wil zeggen, u voegt een positief nummer toe.

Wanneer u twee negatieve getallen vermenigvuldigt of verdelen, ontvangt u een positief resultaat.

Wanneer u een positief getal en een negatief getal vermenigvuldigt of verdelen, krijgt u een negatief resultaat.

4. Lange uitdrukkingen oplossen. In tegenstelling tot korte uitdrukkingen voor het oplossen van lange uitdrukkingen, kunnen veel stappen nodig zijn. Om fouten te voorkomen, schrijft elke stap van oplossingen op een nieuwe regel. Als u de vergelijking bepaalt, probeert u de gelijkheidstekens in elkaar te schrijven. Dus het zal gemakkelijker voor u zijn om de fout te vinden en op te lossen.

Uitdrukking 9/3 - 5 + 3 x 4. Beslis het als volgt:

9/3 - 5 + 3 × 4

9/3 - 5 + 12

3 - 5 + 12

3 + 7

Deel 2 van 5:

Variabelen

een. Variabelen worden aangeduid met letters. In sommige algebraïsche expressies, samen met cijfers ontmoet je beide variabelen. Het is niet zo moeilijk om als variabelen te werken, zoals het lijkt - ze duiden gewoon aan waarvan de waarden niet bekend zijn. Hieronder staan voorbeelden van variabelen:

Latijnse alfabetletters: X, Y, Z, A, B, C
De letters van het Griekse alfabet, bijvoorbeeld θ
Houd er rekening mee dat niet alle letters variabelen aangeven. De letter π geeft bijvoorbeeld het PI-nummer aan, waarvan de waarde is bekend (3.1459).

2. Onthoud dat variabelen waarden zijn waarvan de waarden niet bekend zijn. Dat wil zeggen, theoretisch is er een getal (of meerdere cijfers), die kunnen worden gesubstitueerd in plaats van een variabele. Vaak is het hoofddoel van het oplossen van algebraïsche vergelijkingen om de waarde van de variabele te vinden.

Bijvoorbeeld, in vergelijking 2x + 3 = 11 "x" is een variabele. Dit betekent dat er een betekenis is van "X", waarin de linkerkant van de vergelijking gelijk is aan 11. Sinds 2 x 4 + 3 = 11, dan x = 4.

Voor een betere verduidelijking van variabelen in vergelijkingen, verander ze dan aan een vraagteken. Bijvoorbeeld, vergelijking 2 + 3 + x = 9 kan worden herschreven als 2 + 3 + ? = 9- Op deze manier moet u erachter komen welk nummer moet worden toegevoegd aan 2 + 3 om 9 te krijgen. Een dergelijk nummer is het nummer 4.

3. Als de variabele in verschillende leden aanwezig is, kan een dergelijke uitdrukking worden vereenvoudigd. Om dit te doen, vouwen of aftrekken van dergelijke leden, dat wil zeggen leden met dezelfde variabele (in dit geval, dezelfde variabelen moeten dezelfde indicator van de mate zijn). Het is niet zo moeilijk als het lijkt. Bijvoorbeeld x + x = 2x, maar x + y ≠ 2xy.

Overweeg bijvoorbeeld vergelijking 2x + 1x = 9. Vouw in dit geval 2x en 1x: 2x + 1x = 3x, dat wil zeggen, de initiële vergelijking wordt herschreven in de vorm van 3x = 9. Dus, x = 3.

Nogmaals: leden met dezelfde variabelen zijn voltooid en afgetrokken. In de 2x + 1Y = 9 vergelijking, kunt u 2x en 1Y niet vouwen, omdat deze leden verschillende variabelen zijn.

Onthoud ook dat dezelfde variabelen dezelfde indicator moeten hebben. Bijvoorbeeld, in vergelijking 2x + 3x = 10, kunt u 2x en 3x niet vouwen als gevolg van verschillende indicatoren van de mate. We raden aan om het artikel te lezen Hoe degree toe te voegen.

Deel 3 van 5:

De oplossing van de eenvoudigste vergelijkingen

een. Om de vergelijking op te lossen, scheidt u de variabele aan één kant van de vergelijking. De oplossing van de algebraïsche vergelijking is om de waarde van de variabele te vinden. Daarom is het noodzakelijk om de variabele aan één kant van de vergelijking te scheiden en het aantal - aan de andere kant. Overweeg bijvoorbeeld de vergelijking x + 2 = 9 x 4.

In ons voorbeeld, voor de scheiding van de variabele "X" is het noodzakelijk 2 aan de rechterkant van de vergelijking over te dragen. Om dit te doen, van beide delen van de vergelijking, aftrek 2 (zodat de vergelijkingwaarde niet is gewijzigd). Je krijgt x = 9 x 4 - 2 = 36 - 2 = 34.

2. Wanneer het nummer wordt overgedragen via het teken van gelijkheid, verandert de wiskundige werking in het tegenovergestelde - hier beschouwen we de operaties van toevoeging en aftrekking. Om de variabele aan één kant van de vergelijking te scheiden, moet u het nummer overdragen voor het gelijkheidsteken. Om dit te doen, is het noodzakelijk om dit nummer aan te trekken of aan te komen aan beide partijen van de vergelijking. Overweeg bijvoorbeeld de vergelijking x + 3 = 0. Hier is het nodig om 3 per teken van gelijkheid over te dragen. Om dit te doen, is het noodzakelijk om 3 aan beide zijden van de vergelijking af te trekken, dat wil zeggen, als volgt: x + 3 - 3 = 0 - 3. Dus je krijgt x = -3.

Denk eraan: als het nummer wordt toegevoegd, aftrek het aan de andere kant van de vergelijking- als het nummer wordt afgetrokken, voegt u deze toe aan de andere kant van de vergelijking.

Verwijder het nummer. Bijvoorbeeld x + 9 = 3- x = 3 - 9

Ingetogen nummer toevoegen. Bijvoorbeeld x - 4 = 20- x = 20 + 4

3. Bij het overbrengen van het nummer door het teken van gelijkheid, verandert de wiskundige bewerking naar het tegenovergestelde - hier beschouwen we de bewerkingen van vermenigvuldiging en divisie. Als de variabele bijvoorbeeld door 3 wordt vermenigvuldigd, deel dan beide zijden van de vergelijking met 3.

Onthoud: als de variabele wordt vermenigvuldigd met het nummer, deel de vergelijking op de andere kant, als de variabele in aantal is verdeeld, vermenigvuldig de andere kant van de vergelijking.

Vermenigvuldig verandering in divisie. Bijvoorbeeld 6x = 14 + 2- x = (14 + 2)/ 6

Besluitwijzing naar vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld x / 5 = 25- x = 25 × 5

4. Bij het overbrengen van het nummer via het gelijke teken, verandert de wiskundige bewerking in het tegenovergestelde - hier zullen we de constructie van de wortel beschouwen. We raden aan om het artikel te lezen Hoe uit te lossen uitdrukkingen met graden. De operatie tegenover de oefening is de extractie van de wortel (en integendeel). Bijvoorbeeld, de operatie tegenover de constructie van het plein (in de tweede graad) is de extractie van een vierkantswortel (√) - de werking tegenover de constructie van de kubus (in de derde graad) is de extractie van kubieke wortel (√).

Als de variabele in een diploma wordt gebouwd, verwijdert u de root van beide zijden van de vergelijking. Als de variabele kosten in het kader van het root-teken de mate aannemen voor zowel een deel van de vergelijking.

In geval van constructie, verwijder de wortel. Bijvoorbeeld x = 49- x = √49

Bouw een diploma in het geval van een root-extractie. Bijvoorbeeld √x = 12- x = 12

Deel 4 van 5:

Ottage vaardigheden

een. Als u niet kunt bepalen hoe u de aangegeven vergelijking op u kunt oplossen, visualiseer deze met afbeeldingen of grafieken. Of neem verschillende items, zoals kubussen of munten (indien aanwezig).

Los bijvoorbeeld vergelijking x + 2 = 3 op, met behulp van het pictogram ☐.
x +2 = 3
☒ + ☐☐ = ☐☐☐
Van beide zijden van de vergelijking, aftrek 2. Hiervoor verwijdert u aan elke kant van de vergelijking twee pictogrammen (☐☐):
☒ + ☐☐-☐☐ = ☐☐☐-☐☐
☒ = ☐, dat wil zeggen, x = een
Een ander voorbeeld is 2x = 4.
☒☒ = ☐☐☐☐
Beide zijden van de vergelijking zijn onderverdeeld in 2. Om dit te doen, deelt u de pictogrammen in twee gelijke groepen aan beide zijden van de vergelijking.
☒ | ☒ = ☐☐ | ☐☐
☒ = ☐☐, dat wil zeggen, x = 2

2. Bij het oplossen van de taak, controleer de vergelijking die u door u hebt gecompileerd. Om dit te doen, vervangt u in plaats van de variabele de eenvoudigste waarden, bijvoorbeeld x = 0, of x = 1 of x = -1 en ontdek of de vergelijking de betekenis heeft. Het is bijvoorbeeld eenvoudig om een fout te maken en p = 6D te schrijven, dan moet je p = d / 6 schrijven.

Deze taak wordt bijvoorbeeld gegeven: de lengte van het voetbalveld is groter dan de breedte van 30 m. Maak de volgende vergelijking: L = W + 30. Controleer of deze vergelijking logisch is - om dit te doen in plaats van variabelen, vervang sommige waarden. Bijvoorbeeld, indien breedte W = 10 m, dan de lengte van het veld L = 10 + 30 = 40 m- indien breedte W = 30 m, vervolgens de lengte van het veld L = 30 + 30 = 60 m (enzovoort ). Deze vergelijking is logisch, want met elke breedtewaarde is de lengte meer.

3. Vergeet niet dat de antwoorden (eindwaarden) niet altijd gehele getallen zijn. Ze kunnen decimale breuken, gewone breuken of irrationele aantallen zijn. Dergelijke antwoorden gebruiken de rekenmachine, maar uw leraar kan een reactie in een ander formulier vereisen.

U ontving bijvoorbeeld het antwoord x = 1250. Voer met de hulp van een rekenmachine 1250 uit in het zevende graad en u krijgt een enorm aantal. In dit geval is het beter om een reactie in de vorm van x = 1250 of in een exponentiële weergave te schrijven.

4. Na het onderzoeken van de fundamenten van Algebra, ga dan naar de ontleding van polynomen op vermenigvuldigers. Dit is een zeer geavanceerde techniek die u in staat zal stellen om complexe polynomen weer te geven in een simplistische vorm. We raden aan om te lezen Dit artikel. Hieronder staan enkele tips over de ontbinding van polynomen op vermenigvuldigers.

De polynomen van AX + BA worden geweigerd naar vermenigvuldigers A (x + B). Bijvoorbeeld: 2x + 4 = 2 (x + 2)

De polynomen van de AX + BX worden geweigerd naar de CX-vermenigvuldigers ((A / C) x + (B / C)), waarbij C het grootste aantal is waarop A en B worden gevoerd. Bijvoorbeeld: 3Y + 12Y = 3Y (Y + 4)

De polynomen van de soort X + BX + C zijn gevouwen in multipliers (x + y) (x + z), waar Y × Z = C en YX + ZX = BX. Bijvoorbeeld: x + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).

vijf. Oefen meer bij het oplossen van vergelijkingen en taken. Gewoon, jij meesteralebraic-vaardigheden. Maak je geen zorgen - luister aandachtig naar de leraar, voer je huiswerk uit en vraag, indien nodig, om een leraar of je klasgenoten.

6. Stel vragen aan de leraar als je iets niet begrijpt. U bent niet verplicht om de subtiliteiten van Algebra onafhankelijk te begrijpen, dus stel vragen aan uw leraar. Ga naar hem na de les en stel beleefd een vraag. Een goede leraar legt u gewillig uit aan u onbegrijpelijke momenten (hoogstwaarschijnlijk na lessen) en laat zien hoe u problemen kunt oplossen.

Als je om welke reden dan ook niet je kan helpen, probeer dan op de een of andere manier uitleg te krijgen. In sommige scholen zijn er bijvoorbeeld keuzevakken die na de lessen worden gehouden en die u antwoorden op uw vragen kunt vinden. Vergeet niet dat je niet verlegen zou moeten zijn om hulp te vragen - dit geeft je interesse in de studie van het onderwerp aan.

Deel 5 van 5:

Studie van andere onderwerpen

een. Bouw van de grafiek van de functie (vergelijkingen met variabelen x en y). Grafieken zijn een belangrijk onderdeel van Algebra, omdat ze u toestaan om de door nummers verstrekte informatie te visualiseren. In de meeste gevallen is het noodzakelijk om een grafiek van de vergelijking te maken met twee variabelen (X en Y) - dit gebeurt op het tweedimensionale vlak van de coördinaat weergegeven door Assen X en Y. Om een grafiek te bouwen in plaats van de "X" -variabele, vervang gedefinieerde waarden om de waarden van de variabele "Y" (of omgekeerd) te vinden - dus u krijgt gepaarde waarden die coördinaten zijn van de grafische punten.

Bijvoorbeeld de vergelijking y = 3x. SUPPLAATS AAN X = 2 EN KRIJG Y = 6, dat wil zeggen, u ontving een punt met coördinaten (2.6) (twee langs de X en zes assen langs de Y-as).
Vergelijkingen van het formulier Y = MX + B (waarbij M en B cijfers zijn) zijn de meest voorkomende algebraïsche vergelijkingen. De hoekcoëfficiënt van de grafiek van deze vergelijking is M, en de grafiek kruist de Y-as bij Y = B.

2. Besluit van ongelijkheden. In ongelijkheden, in plaats van het teken van gelijkheid, een van de tekenen van ongelijkheden. Ongelijkheden met tekens> (meer) en < (меньше) решаются аналогично обычным равенствам. В результате вы получите переменную, большую или меньшую определенного значения.

Overweeg bijvoorbeeld ongelijkheid 3> 5x - 2.

3> 5x - 2

5> 5x

1> x of X < 1>.

Dit betekent dat de variabele "X" elke waarde heeft, minder dan 1. Dat wil zeggen, de variabele "x" kan gelijk zijn aan 0, -1, -2 enzovoort. Als we deze waarden in de oorspronkelijke ongelijkheid vervangen, ontvangt u een reactie, minder dan 3.

3. Oplossing van vierkante vergelijkingen. Dit zijn de vergelijkingen van de vorm AX + BX + C = 0, waarbij A, B, C-nummers, en "A" gelijk kan zijn aan nul, en "B" en "C" kunnen niet gelijk zijn aan nul. Dergelijke vergelijkingen worden opgelost volgens de formule X = [-B +/- √ (B - 4AC)] / 2A. Houd er rekening mee dat het +/- teken de mogelijkheid aangeeft om twee wortels te hebben.

Overweeg bijvoorbeeld de vierkante vergelijking 3x + 2x -1 = 0.

x = [-B +/- √ (B - 4AC)] / 2A

X = [-2 +/- √ (2 - 4 (3) (- 1))] / 2 (3)

x = [-2 +/- √ (4 - (-12))] / 6

x = [-2 +/- √ (16)] / 6

X = [-2 +/- 4] / 6

x1 = -een en x2 = 1/3

4. Oplossing van systemen van vergelijkingen. Het systeem van vergelijkingen bevat verschillende vergelijkingen. Solve-systeemvergelijkingen is niet zo moeilijk, zoals het lijkt. Veel leraren vereisen het oplossen van systeemvergelijkingen met behulp van grafieken. Als het systeem van vergelijkingen twee vergelijkingen bevat, is de oplossing van het systeem coördinaten van de kruising van grafieken van twee vergelijkingen.

Bijvoorbeeld het systeem van vergelijkingen y = 3x - 2 en y = -x - 6. Als u grafieken van beide vergelijkingen bouwt, krijgt u een toenemende directe en aflopende direct, die op het punt met coördinaten (-1, -5) op het punt verschijnt. Dit is de oplossing van het systeem van vergelijkingen.

Als u het antwoord wilt controleren, vervangt u de gevonden waarden in de vergelijking.

Y = 3x - 2

-5 = 3 (-1) - 2

-5 = -3 - 2

-5 = -5

y = -x - 6

-5 = - (- 1) - 6

-5 = 1 - 6

-5 = -5

Gelijkheid wordt waargenomen!

Tips

Op internet zijn er veel nuttige bronnen voor mensen die de algebra leren. Ga voor hun zoektocht in de zoekmachine iets in als "Help op Algebra". Je vindt ook honderden nuttige artikelen over algebra op de RU-website.wikihow.Com.
Als u problemen ondervindt, opent u de Site VideoOrokionline.Ru of school-assistent.Ru. Daar vindt u tips en taken op verschillende onderwerpen, waaronder Algebra.
Vergeet niet dat hulp beter is om contact op te nemen met mensen die je kent. Neem bijvoorbeeld contact op met uw vrienden of klasgenoten als u het onderwerp van de laatste les op Algebra niet begreep.

Deel in het sociale netwerk:

Hoe algebra te studeren

Stappen

Tips