Hoe een impliciete functie onverschillig te maken

Wanneer u een duidelijke functie krijgt, waarin de afhankelijke variabele is geïsoleerd aan één zijde van het gelijkheidsteken (bijvoorbeeld y = x -3x), dan kunt u gemakkelijk direct onverschillig het (dat wil zeggen, om zijn derivaat te vinden). Maar impliciete functies (bijvoorbeeld x + y - 5x + 8Y + 2xy = 19), waarin het niet zo eenvoudig is om de afhankelijke variabele anders anders te scheiden.

Stappen

Methode 1 van 2:
Het vinden van een derivaat van een eenvoudige functie
  1. Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 1
een. Aan beide zijden van de functie, vind (op een standaardweg) derivaten van leden die een onafhankelijke variabele "X" en afgeleide gratis leden bevatten. In dit stadium bevatten leden de afhankelijke variabele "Y" totdat u aanraakt. De X + Y-functie wordt bijvoorbeeld gegeven - 5x + 8Y + 2XY = 19.
  • In onze voorbeeld X + Y - 5x + 8Y + 2XY = 19 zijn twee leden van de variabele "X": X en -5X. Zoek hun derivaten:
    X + y - 5x + 8Y + 2XY = 19
    (Graad van 2 in X Maak een vermenigvuldiger, in -5x ontdoen van "x" en derivaat 19 is 0)
    2x + y - 5 + 8Y + 2XY = 0
  • Titel afbeelding Titel impliciete differentiatie stap 2
    2. Neem nu derivaten uit het lid van de "Y" -variabele en leg ze op (DY / DX). Bijvoorbeeld, bij het vinden van een derivaat van een lid, schrijf het als volgt: 2Y (DY / DX). In dit stadium bevatten leden zowel variabelen ("x" en "y") totdat u aanraakt.
  • In ons voorbeeld 2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0 differentiate-leden Y en 8Y:
    2x + y - 5 + 8Y + 2XY = 0
    (Indicator van de graad 2 v m om een ​​vermenigvuldiger te maken, en in de 8e verwijdering van "Y" - en vervolgens opleggen aan de DX / Dy Derivative ontvangen)
    2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2XY = 0
  • Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 3
    3. Om een ​​ledenderivaat te vinden met een product van twee variabelen ("x" en "y"), gebruikt u de functie van differentiatie van de functie van functies: (F × g) `= f` × g + g × f `, waar in plaats van f substraat "x", en in plaats van g - "y". Aan de andere kant, om een ​​derivaat te vinden van een lid met de privé-twee variabelen ("X" en "Y"), gebruikt u de regel van differentiatie van particuliere functies: (F / g) `= (g × f` - g `× f) / g, waar in plaats van f substraat "x", en in plaats van g - "Y" (of omgekeerd, afhankelijk van de functies die aan u zijn gegeven).
  • In ons voorbeeld 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2H = 0 Er is één lid met beide variabelen: 2xy. Omdat hier de variabelen worden vermenigvuldigd, gebruikt u de functie van differentiatie van het functies:
    2xy = (2x) (y) - laat 2x = f en y = g in (f × g) `= f` × g + g × f `
    (F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (Y) `
    (F × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2Y (DY / DX))
    (F × g) `= 2Y + 4XY (DY / DX)
  • Voeg deze leden toe aan de hoofdfunctie en krijg: 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0
  • Titel afbeelding Titel impliciete differentiatie stap 4
    4. Deden (DY / DX). Houd er rekening mee dat twee leden "A" en "B", die worden vermenigvuldigd met (DY / DX), in het formulier (A + B) (DY / DX) kunnen worden geschreven. Voor scheiding (DY / DX) brengt u alle leden over zonder (DY / DX) naar de ene kant van het gelijkheidsteken en deel ze dan op leden die in haakjes staan ​​bij (DY / DX).
  • In ons voorbeeld 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0:
    2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0
    (2Y + 8 + 4XY) (DY / DX) + 2X - 5 + 2Y = 0
    (2Y + 8 + 4XY) (DY / DX) = -2Y - 2X + 5
    (DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2Y + 8 + 4XY)
    (DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2 (2XY + Y + 4)
    • Methode 2 van 2:
    Geavanceerde methoden
    1. Titel afbeelding Titel impliciete differentiatie stap 5
    een. SUBS-waarden (x, y) om (DY / DX) voor elk punt te vinden (DY / DX). OHIE (DY / DX), u hebt een derivaat van een impliciete functie gevonden. Met behulp van dit derivaat vindt u de hoekcoëfficiënt van tangential op elk moment (x, y), eenvoudigweg vervangen in de gevonden derivaat van de coördinaten "X" en "Y".
    • Het is bijvoorbeeld noodzakelijk om de hoekcoëfficiënt van Tangent op Point A te vinden (3, -4). Om dit te doen, in het derivaat in plaats van "x" substituut 3, en in plaats van "y" substituut -4:
      (DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2 (2XY + Y + 4)
      (DY / DX) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
      (DY / DX) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
      (DY / DX) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
      (DY / DX) = (-33) / (2 (2 (-12))
      (DY / DX) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0.6875.
  • Titel afbeelding Titel impliciete differentiatie stap 6
    2. Profiteer van de kettingdetails van differentiatie van complexe functies: Als de functie F (x) in het formulier kan worden geschreven (F O g) (x), derivaat f (x) is gelijk F `(g (x)) g` (x). Dit betekent dat het derivaat van de samenstelling van twee of meer functies kan worden berekend op basis van individuele derivaten.
  • Voorbeeld: Zoek de zondivaat (3x + x). Duid in dit geval de zonde (3x + x) aan als "f (x)" en 3x + x als "G (x)".
    F `(g (x)) g` (x)
    (Sin (3x + X)) `× (3x + x)`
    COS (3x + x) × (6x + 1)
    (6x + 1) COS (3x + x)
  • Titel afbeelding Titel impliciete differentiatie stap 7
    3. Als de functie de variabelen bevat "X", "Y", "Z", vind (DZ / DX) en (DZ / DY). Dat wil zeggen, als de functie meer dan twee variabelen bevat, voor elke extra variabele is het noodzakelijk om een ​​extra derivaat van "X" te vinden. Als de functie bijvoorbeeld de "X" -variabelen bevat, "Y", "Z", moet u (DZ / DX) en (DZ / DY) vinden. U kunt dit doen door tweemaal de functie door "X" te sturen - voor het eerst voegt u (DZ / DX) voor elk extabele lid toe met "Z", en voor de tweede keer zal ik (DZ / DY) toevoegen bij differentiëren "z". Daarna, eenvoudig gescheiden (DZ / DX) en (DZ / DY).
  • Zoek bijvoorbeeld de XZ-derivaat - 5xyz = x + y.
  • Eerste, indifferentiate door "X" en toevoegen (DZ / DX). Vergeet niet de regel toe te passen bij het vinden van een derivaat van de functie van functies.
    xz - 5xyz = x + y
    3xz + 2xz (DZ / DX) - 5YZ - 5XY (DZ / DX) = 2x
    3XZ + (2XZ - 5XY) (DZ / DX) - 5YZ = 2X
    (2xz - 5xy) (DZ / DX) = 2x - 3xz + 5YZ
    (DZ / DX) = (2x - 3xz + 5YZ) / (2XZ - 5XY)
  • Doe nu hetzelfde voor (DZ / DY):
    xz - 5xyz = x + y
    2XZ (DZ / DY) - 25XYZ - 5XY (DZ / DY) = 3Y
    (2xz - 5XY) (DZ / DY) = 3Y + 25XYZ
    (DZ / DY) = (3Y + 25XYZ) / (2XZ - 5XY)

    • Waarschuwingen

    • Besteed aandacht aan de leden bij het onderscheiden van die nodig is om de regel van het vinden van een derivaat van het product of particuliere functies toe te passen.
    Deel in het sociale netwerk:
    Vergelijkbaar