Hoe op te lossen Trigonometrische vergelijkingen: 8 stappen

De trigonometrische vergelijking bevat een of meer trigonometrische functies van de variabele "X" (of een andere variabele). De oplossing van de trigonometrische vergelijking is om een dergelijke "X" -waarde te vinden die voldoet aan de functies (functies) en de vergelijking in het algemeen.

Oplossingen van trigonometrische vergelijkingen worden uitgedrukt in graden of radialen. Voorbeelden:

x = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 grijshesh = 37.12 graden = 178.37 graden.

OPMERKING: de waarden van trigonometrische functies uit hoeken die in radialen worden uitgedrukt en van hoeken die in graden worden uitgedrukt, zijn gelijk. Trigonometrische cirkel met een straal die gelijk is aan één, dient om trigonometrische functies te beschrijven, evenals om de juistheid van de oplossing van de belangrijkste trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden te verifiëren.
Voorbeelden van trigonometrische vergelijkingen:

SIN X + SIN 2X = 1/2-TG X + CTG X = 1.732;
COS 3X + SIN 2X = COS X-2SIN 2X + COS X = 1 .

Trigonometrische cirkel met een straal gelijk aan één (enkele cirkel).
Dit is een cirkel met een straal die gelijk is aan één, en het centrum op het punt O. Een enkele cirkel beschrijft 4 basistrigonometrische functies van de variabele "X", waarbij "X" een hoek is die is geteld door de positieve richting van de X-as tegen de klok in.
Als "x" een hoek op een enkele cirkel is, dan:
De horizontale as van OAH definieert de functie F (x) = compi.
De verticale avie-as definieert de functie F (x) = sin x.
De verticale as bij definieert de functie F (x) = tg x.
De horizontale as van BU bepaalt de functie F (x) = CTG X.

De eenheidscirkel wordt ook gebruikt bij het oplossen van de belangrijkste trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden (er zijn verschillende bepalingen van "X").

Stappen

een. Concept van het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

Om de trigonometrische vergelijking op te lossen, converteert u deze in een of meer van de hoofdtrigonometrische vergelijkingen. De oplossing van de trigonometrische vergelijking wordt uiteindelijk verminderd tot het oplossen van vier hoofdtrigonometrische vergelijkingen.

Titel afbeelding Los Trigonometrische vergelijkingen Stap 2

2. Oplossing van de hoofdtrigonometrische vergelijkingen.

Er zijn 4 soorten elementaire trigonometrische vergelijkingen:

Sin x = a- cos x = a

Tg x = a-ctg x = a

De oplossing van de belangrijkste trigonometrische vergelijkingen impliceert de vergoeding van verschillende bepalingen van "X" op een enkele cirkel, evenals het gebruik van een conversietabel (of rekenmachine).

Voorbeeld 1. sin x = 0,866. Met behulp van de conversietabel (of rekenmachine) ontvangt u het antwoord: x = π / 3. Een enkele cirkel geeft een ander antwoord: 2π / 3. Onthoud: alle trigonometrische functies zijn periodiek, dat wil zeggen, hun waarden worden herhaald. De frequentie van Sin X en COS X is bijvoorbeeld 2πn en de frequentie van TG X en CTG X is gelijk aan πn. Daarom is het antwoord als volgt geschreven:

x1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

Voorbeeld 2. Cos x = -1/2. Met behulp van de conversietabel (of rekenmachine) ontvangt u het antwoord: x = 2π / 3. Enkele cirkel geeft een ander antwoord: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π x2 = -2π / 3 + 2π.

Voorbeeld 3. TG (x - π / 4) = 0.

Antwoord: X = π / 4 + πN.

Voorbeeld 4. CTG 2X = 1.732.

Antwoord: x = π / 12 + πn.

Titel afbeelding Solve Trigonometrische vergelijkingen Stap 3

3. Transformatie gebruikt bij het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

Om trigonometrische vergelijkingen te transformeren, worden algebraïsche transformaties gebruikt (ontbinding op vermenigvuldigers, die homogene leden en t`s brengen.NS.) en trigonometrie.

Voorbeeld 5. Met behulp van trigonometrische identiteiten, de SIN X + SIN 2X + SIN 3X = 0 vergelijking wordt geconverteerd naar 4cos x * SIN-vergelijking (3x / 2) * COS (X / 2) = 0. Aldus moeten de volgende hoofdtrigonometrische vergelijkingen worden opgelost: COS X = 0- SIN (3x / 2) = 0- COS (X / 2) = 0.

Titel afbeelding Los Trigonometrische vergelijkingen Stap 4

4. De hoek van bekende waarden van functies vinden.

Voordat u de methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen, moet u leren hoe u hoeken vindt volgens bekende waarden van functies. Dit kan worden gedaan met behulp van een conversie- of rekeninstellingsstabel.

Voorbeeld: COS X = 0,732. Calculator geeft het antwoord x = 42,95 graden. Een enkele cirkel geeft extra hoeken wiens cosinus ook gelijk is aan 0.732.

Titel afbeelding Solve Trigonometrische vergelijkingen Stap 5

vijf. Post de beslissing op een enkele cirkel.

U kunt de Solid Configuration-vergelijking van een enkele cirkel uitstellen. Oplossingen van de trigonometrische vergelijking op een enkele cirkel zijn hoekpunten van de juiste polygoon.

Voorbeeld: oplossingen X = π / 3 + πn / 2an Een enkele cirkel zijn hoekpunten van een vierkant.

Voorbeeld: oplossingen X = π / 4 + πn / 35 Een enkele cirkel is de toppen van de juiste zeshoek.

Titel afbeelding Solve Trigonometrische vergelijkingen Stap 6

6. Methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

Als deze trigonometrische vergelijking slechts één trigonometrische functie bevat, los deze vergelijking op als de hoofdtrigonometrische vergelijking. Als deze vergelijking twee of meer trigonometrische functies omvat, zijn er 2 methoden voor het oplossen van een dergelijke vergelijking (afhankelijk van de mogelijkheid van zijn transformatie).

Methode 1.

Converteer deze vergelijking met de vergelijking van de vorm: F (x) * g (x) * h (x) = 0, waarbij f (x), g (x), h (x) - de belangrijkste trigonometrische vergelijkingen.

Voorbeeld 6. 2cos x + sin 2x = 0.(0 < x>

Oplossing. Met behulp van de formule van een dubbele hoek sin 2x = 2 * sin x * cos, vervang zonde 2x.

2SSS x + 2 * SIN X * COS X = 2COS X * (SIN X + 1) = 0. Bepaal nu de twee hoofdtrigonometrische vergelijkingen: COS X = 0 en (Sin X + 1) = 0.

Voorbeeld 7.COS X + COS 2X + COS 3X = 0.(0 < x>

Oplossing: met behulp van trigonometrische identiteiten, geconverteerde vergelijking met de vergelijking van de vorm: COS 2X (2COS x + 1) = 0. Bepaal nu de twee hoofdtrigonometrische vergelijkingen: COS 2x = 0 en (2COS x + 1) = 0.

Voorbeeld 8.SIN X - SIN 3X = COS 2X .(0 < x>

Oplossing: met behulp van trigonometrische identiteiten, geconverteerde vergelijking met de vergelijking van type: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Bepaal nu de twee belangrijkste trigonometrische vergelijkingen: COS 2X = 0 en (2SIN X + 1) = 0.

Methode 2.

Converteer deze trigonometrische vergelijking met een vergelijking met slechts één trigonometrische functie. Vervang vervolgens deze trigonometrische functie op een onbekend, bijvoorbeeld T (Sin X = T-COS X = T- COS 2X = T, TG X = T-TG (X / 2) = T en T.NS.).

Voorbeeld 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x>

Oplossing. Vervang in deze vergelijking (COS ^ 2 x) op (1 - SIN ^ 2 x) (volgens de identiteit). De getransformeerde vergelijking is:

3SIN ^ 2 x - 2 + 2SIN ^ 2 x - 4SIN X - 7 = 0. Vervang de zonde x op t. Nu is de vergelijking: 5T ^ 2 - 4T - 9 = 0. Dit is een vierkante vergelijking met twee wortels: T1 = -1 en T2 = 9/5. De tweede root T2 voldoet niet aan de waarden van de functiewaarden (-1 < sin>

Voorbeeld 10. TG X + 2 TG ^ 2 x = CTG X + 2

Oplossing. VervangeretG x op t. Herschrijf de initiële vergelijking in de volgende vorm: (2T + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Zoek nu t en vind dan x voor t = tg x.

Titel afbeelding Los Trigonometrische vergelijkingen Stap 7

7. Speciale trigonometrische vergelijkingen.

Er zijn verschillende speciale trigonometrische vergelijkingen die specifieke transformaties vereisen. Voorbeelden:

A * SIN X + B * COS X = C - A (SIN X + COS X) + B * COS X * SIN X = C;

A * SIN ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Titel afbeelding Los Trigonometrische vergelijkingen Stap 8

acht. Periodiciteit van trigonometrische functies.

Zoals eerder vermeld, zijn de extrarigonometrische functies periodiek, dat wil zeggen, hun waarden worden na een bepaalde periode herhaald. Voorbeelden:

De functie FunctionF (X) = Sin X is 2π.

De functie FunctionF (X) = TG X is gelijk aan π.

De functie FunctionF (X) = SIN 2X is gelijk aan π.

De functie FunctionF (X) = COS (X / 2) is 4π.

Als de periode is opgegeven in de taak, bereken de waarde "X" binnen deze periode.

Opmerking: Trigonometrische aandelenoplossing - een moeilijke taak die vaak tot fouten leidt. Controleer daarom de antwoorden voorzichtig. Om dit te doen, kunt u een grafische rekenmachine gebruiken om een grafiek van deze vergelijking R (X) = 0 te construeren. In dergelijke gevallen zullen oplossingen worden gepresenteerd in de vorm van decimale fracties (dat wil zeggen, π wordt vervangen door 3.14).

Deel in het sociale netwerk:

Hoe trigonometrische vergelijkingen op te lossen

Stappen