Hoe op te lossen Vergelijkingen met root (met illustraties)

Hoewel het angstaanjagende soort vierkant wortelymbool en een man kan maken, niet sterk in wiskunde, zijn taken met vierkantswortel niet zo moeilijk, zoals het eerst lijkt. Eenvoudige taken met vierkante root kunnen vrij vaak zo gemakkelijk worden opgelost als conventionele taken met vermenigvuldiging of divisie. Aan de andere kant kunnen meer complexe taken enige inspanning vereisen, maar met de juiste aanpak, zelfs zij zullen u niet citeren. Begin met het oplossen van taken met de root vandaag om dit radicale nieuwe wiskundige mogelijkheid te leren!

Stappen

Deel 1 van 3:

De vierkanten van cijfers en vierkante wortels begrijpen

een. Bouw een nummer op een vierkant, vermenigvuldig het op zichzelf. Om vierkante wortels te begrijpen, is het beter om te beginnen met vierkanten van cijfers. De vierkanten van de nummers zijn vrij eenvoudig: de constructie van het getal in een vierkant betekent het op zichzelf vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld 3 op het plein is hetzelfde als 3 × 3 = 9, en 9 op het plein is hetzelfde als 9 × 9 = 81. Vierkanten zijn gemarkeerd met het schrijven van een klein aantal "2" aan de rechterkant boven het nummer Elevatief. Voorbeeld: 3, 9, 100, enzovoort.

Probeer nog een paar nummers op het plein te bouwen om dit concept uit te proberen. Vergeet niet dat de erectie van het nummer op een vierkant is dat dit aantal op zichzelf moet vermenigvuldigen. Dit kan zelfs voor negatieve getallen worden gedaan. In dit geval zal het resultaat altijd positief zijn. Bijvoorbeeld: -8 = -8 × -8 = 64.

Titel afbeelding Solve Square Root Problemen Stap 2

2. Als het gaat om vierkante wortels, dan is er een omgekeerd proces van het bouwen van een vierkant. Het symbool van de wortel (√, het wordt ook radicaal genoemd) betekent in wezen het tegenovergestelde van het symbool . Wanneer je een radicaal ziet, moet je jezelf afvragen: "Welk getal kan op zichzelf worden vermenigvuldigd om een nummer onder de wortel te krijgen?". Als u bijvoorbeeld √ (9) ziet, moet u het nummer vinden dat, wanneer we op het plein zijn, een nummer negen zou geven. In ons geval zal dit aantal drie zijn, omdat 3 = 9.

Overweeg een ander voorbeeld en vind de root van 25 (√ (25)). Dit betekent dat we een nummer moeten vinden dat op het plein ons 25 gaf. Sinds 5 = 5 × 5 = 25 kunnen we zeggen dat √ (25) = 5.

Je kunt er ook aan denken als een `intrekking` van de bouw van het plein. Als we bijvoorbeeld √ (64), vierkant root 64 moeten vinden, dan laten we erover nadenken, zoals ongeveer 8. Sinds het symbool van de wortel "annuleert" de constructie van het plein, kunnen we zeggen dat √ (64) = √ (8) = 8.

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 3

3. Ken het verschil tussen de ideale en niet perfecte constructie op het plein. Tot nu toe waren de antwoorden op onze taken met de wortel goed en ronde cijfers, maar het is niet altijd zo. Square-root-taken Antwoorden kunnen zeer lange en ongemakkelijke getallen zijn met een decimale fractie. Aantallen waarvan de wortel integers zijn (met andere woorden, cijfers die geen fractie zijn) worden volledige vierkanten genoemd. Alle bovengenoemde voorbeelden (9, 25 en 64) zijn complete vierkanten, omdat hun wortel een geheel getal (3,5 en 8) zal zijn.

Aan de andere kant, de cijfers die tijdens de bouw van de root geen geheel getal geven, worden onvolledige vierkanten genoemd. Als u een van deze nummers onder de root plaatst, ontvangt u een getal met een decimale fractie. Soms kan zo`n aantal erg lang zijn. Bijvoorbeeld √ (13) = 3.605551275464...

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 4

4. Denk aan de eerste 1-12 volledige vierkanten. Zoals je waarschijnlijk al hebt opgemerkt, vind je een volledige vierkantswortel vrij eenvoudig! Vanwege het feit dat deze taken zo eenvoudig zijn, is het de moeite waard om de wortels van het eerste dozijn van volledige vierkanten te onthouden. Je zult deze cijfers niet meer tegenkomen, dus je brengt een beetje tijd door om hun vroege en bespaart tijd in de toekomst te onthouden.

1 = 1 × 1 = een

2 = 2 × 2 = 4

3 = 3 × 3 = negen

4 = 4 × 4 = zestien

5 = 5 × 5 = 25

6 = 6 × 6 = 36

7 = 7 × 7 = 49

8 = 8 × 8 = 64

9 = 9 × 9 = 81

10 = 10 × 10 = 100

11 = 11 × 11 = 121

12 = 12 × 12 = 144

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 5

vijf. Vereenvoudig de wortels door de volledige vierkanten eruit te verwijderen, indien mogelijk. Zoek een onvolledige vierkante wortel kan soms niet eenvoudig zijn, vooral als u geen rekenmachine gebruikt (in sectie hieronder vindt u verschillende trucs, hoe dit proces gemakkelijker te maken). Het is echter vaak mogelijk om het aantal onder de wortel te vereenvoudigen, zodat het gemakkelijker is om ermee samen te werken. Om dit te doen, moet u alleen het nummer onder de root op de factoren verdelen en vervolgens de root van de vermenigvuldiger vinden, wat een compleet vierkant is en het buiten de wortel schrijft. Het is gemakkelijker dan het lijkt. Lees naast om meer informatie te krijgen.

Laten we aannemen dat we een vierkante wortel 900 moeten vinden. Op het eerste gezicht lijkt het vrij ernstig! Het zal echter niet zo moeilijk zijn als we het nummer 900 verdelen voor multipliers. Boeren zijn getallen die door elkaar worden vermenigvuldigd om een nieuw nummer te geven. Het aantal 6 kan bijvoorbeeld worden verkregen, vermenigvuldigd met 1 × 6 en 2 × 3, de vermenigvuldiger zijn nummers 1, 2, 3 en 6.

In plaats van te zoeken naar de root van het nummer 900, dat een beetje moeilijk is, laten we dan 900 drinken, als een vermenigvuldiging van 9 × 100. Nu dat het nummer 9, dat een volledig vierkant is, gescheiden van 100, kunnen we de root vinden. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Met andere woorden, √ (900) = 3√ (100).

We kunnen zelfs nog verder gaan, het delen van 100 tot twee factor, 25 en 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Daarom kunnen we zeggen dat √ (900) = 3 (10) = 30

Titel afbeelding Solve Square Root Problemen Stap 6

6. Gebruik denkbeeldige getallen om de root van het negatieve getal te vinden. Stel jezelf om wat een nummer bij het vermenigvuldigen van zichzelf zal -16 geven? Het is niet 4 en niet -4, omdat de constructie van deze nummers op het plein ons een positief nummer 16 zal geven. Overgegeven? In feite is er geen manier om root -16 of een ander negatief aantal gewone nummers te schrijven. In dit geval moeten we de imaginaire getallen vervangen (meestal in de vorm van letters of tekens), zodat ze zijn in plaats van de root van het negatieve getal. De variabele "I" wordt bijvoorbeeld meestal gebruikt om een nummer -1-root te bouwen. In de regel zal de root van een negatief getal altijd een denkbeeldig getal zijn (of erin inbegrepen).

Weet dat, hoewel imaginaire getallen niet door conventionele cijfers kunnen worden vertegenwoordigd, ze nog steeds als zodanig kunnen worden behandeld. Een vierkantswortel van een negatief getal kan bijvoorbeeld in een vierkant worden verhoogd om deze negatieve getallen te geven, zoals elke andere vierkantswortel. Ik heb bijvoorbeeld bijvoorbeeld -een

Deel 2 van 3:

Met behulp van een voorzichtig divisie-algoritme

een. Noteer de taak met de root zoals de taak om door de kolom te delen. Hoewel het nogal veel tijd kan duren, zodat u het probleem kunt oplossen met de root van onvolledige vierkanten, zonder toevlucht te nemen tot de hulp van de rekenmachine. Om dit te doen, zullen we de oplossing (of algoritme) gebruiken, die vergelijkbaar is (maar niet precies hetzelfde) op de gebruikelijke divisie door de kolom.

Om te beginnen met de taak met de root in dezelfde vorm als bij het verdelen van een kolom. Stel dat we de vierkantswortel van het nummer 6.45 willen vinden, wat absoluut geen compleet vierkant is. Eerst schrijven we het gebruikelijke vierkante symbool en daarna zullen we een nummer schrijven. Vervolgens trekken we een regel boven het nummer, zodat het in een kleine "doos" blijkt, evenals bij het verdelen van een kolom. Daarna hebben we een root met een lange staart en een aantal van 6.45 onder.
Boven de root zullen we nummers schrijven, dus wees er zeker van.

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 8

2. Grouper-nummers op paren. Om de taak te starten, is het noodzakelijk om de nummers van het nummer onder het paar paren te groeperen, vanaf het punt in de decimale fractie. Als je wilt, kun je kleine punten maken (zoals punten, schuine lijn, komma`s, enz.) Tussen paren, om niet in de war te komen.

In ons voorbeeld moeten we het nummer 6.45 naar de paren als volgt verdelen: 6-, 45-00. Houd er rekening mee dat het "resterende" cijfer aan de linkerkant aanwezig is - dit is normaal.

Titel afbeelding Solve Square Root Problemen Stap 9

3. Zoek het grootste aantal waarvan het vierkant kleiner is dan of gelijk aan de eerste "groep". Begin vanaf de eerste dag of het paar aan de linkerkant. Kies het hoogste aantal waarvan het vierkant kleiner is dan of gelijk aan de resterende "groep". Als de groep bijvoorbeeld gelijk was aan 37, zou u het nummer 6 kiezen, omdat 6 = 36 < 37> 37. Noteer dit nummer boven de eerste groep. Het is het eerste cijfer van je antwoord.

In ons voorbeeld zal de eerste groep van 6-, 45-00 het nummer 6 zijn. Het grootste aantal dat op het plein kleiner is dan of gelijk aan 6 is 2 = 4. Schrijf een nummer 2 over het nummer 6, dat onder de wortel is.

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 10

4. Dubbele gewoon geschreven cijfers, zakken het onder de wortel en neem het weg. Neem het eerste cijfer van uw antwoord (het nummer dat u net hebt gevonden) en verdubbel het. Noteer het resultaat onder je eerste groep en ga weg om het verschil te vinden. Verlaag het volgende aantal nummers naast het antwoord. Ten slotte schrijf je naar het laatste cijfer dat het eerste cijfer van je antwoord verdubbelt en in de buurt verblijf.

In ons voorbeeld zullen we beginnen met verdubbelingscijfers 2, wat het eerste cijfer van ons antwoord is. 2 × 2 = 4. Dan nemen we 4 van 6 (onze eerste "groep"), die 2 hebben ontvangen. Vervolgens weglaten we de volgende groep (45) om 245 te krijgen. En ten slotte, aan de linkerkant, zullen we nog een keer 4 schrijven, die aan het einde een kleine ruimte verlaten, zoals deze: 4_

Titel afbeelding Solve Square Root Problemen Stap 11

vijf. Vul de leegte. Dan moet u een cijfer toevoegen aan het rechterdeel van het opgenomen nummer dat is achtergelaten. Selecteer een cijfer, bewegend met uw nieuwe nummer, krijgt u het belangrijkste resultaat, maar dat zou minder of gelijk zijn aan het "weggelaten" nummer ". Als uw "verlaagde" nummer 1700 is, en uw nummer aan de linkerkant 40_ is, is het noodzakelijk om een cijfer naar het cijfer 4 te schrijven, als 404 × 4 = 1616 < 1700>

In ons voorbeeld moeten we het nummer vinden en het schrijven in de gaten 4_ × _, die het antwoord zo veel mogelijk zal maken, maar nog steeds kleiner of gelijk aan 245. In ons geval is dit een figuur van 5. 45 × 5 = 225, terwijl 46 × 6 = 276

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 12

6. Ga door met het gebruik van "lege" nummers om het antwoord te vinden. Ga door met het oplossen van deze gewijzigde divisie bij de kolom totdat u stelt met het ontvangen van nullen bij het aftrekken van een "verlaagd" nummer of totdat u het gewenste niveau van responsnauwkeurigheid krijgt. Wanneer u klaar bent, vult u de cijfers die u hebt gebruikt om de gaten in elke stap (plus het eerste nummer) het nummer van uw reactie te zijn.

Doorgaan met ons voorbeeld, nemen we 225 af vanaf 245 om 20 te krijgen. Dan zullen we het volgende paar cijfers verlagen, 00 om 2000 te krijgen. Verdubbeling van het nummer boven de root. We krijgen 25 × 2 = 50. Het oplossen van een voorbeeld met spaties, 50_ × _ = /< 2>

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 13

7. Verplaats het punt van decimale fractie naar voren van het eerste "delen" -nummer. Om uw antwoord te voltooien, moet u een decimaal punt op de juiste plaats plaatsen. Gelukkig, maak het vrij eenvoudig. Het enige dat u hoeft te doen, is het afstemmen op het punt van het oorspronkelijke aantal. Als het nummer van 49.8 bijvoorbeeld onder de root zal staan, moet u een punt leggen tussen twee cijfers over de negen en acht.

In ons voorbeeld is er onder de radicale een aantal van 6.45, dus wij bewegen eenvoudig het punt en plaatsen deze tussen de nummers 2 en 5 in onze reactie, die een antwoord heeft ontvangen gelijk aan 2.539.

Deel 3 van 3:

Snelle berekening van onvolledige vierkanten

een. Zoek onvolledige vierkanten door ze te berekenen. Wanneer u zich volledige vierkanten herinnert, is de zoektocht naar de root van onvolledige vierkanten veel gemakkelijker. Omdat u al een dozijn volledige vierkanten kent, is elk nummer dat in het gebied valt tussen deze twee volledige vierkanten te vinden, minimaliseert u alles met de geschatte berekening tussen deze waarden. Begin met de zoektocht naar twee volledige vierkanten, waartussen uw nummer is. Bepaal vervolgens welke van deze nummers uw nummer dichterbij is.

Stel bijvoorbeeld dat we een vierkantswortel van het nummer 40 moeten vinden. Omdat we de volledige vierkanten herinnerden, kunnen we zeggen dat het nummer 40 tussen de 6 en 7 is, de nummers 36 en 49. Sinds 40 meer dan 6 bedraagt de root meer dan 6, en aangezien het minder dan 7 is, zal de wortel ook minder dan 7 zijn. 40 is iets dichter bij 36 dan met 49, dus het antwoord is waarschijnlijk een beetje dichter bij 6. In de volgende paar stappen hebben wij Suzim ons antwoord.

Titel afbeelding Solve Square Root Problemen Stap 15

2. Bereken de vierkantswortel tot het eerste teken na het decimale punt. Nadat u twee volledige vierkanten hebt geselecteerd, waartussen uw nummer zich bevindt, komt alles naar uw berekening totdat u het gewenste antwoord krijgt. Hoe meer u berekent, hoe nauwkeuriger uw antwoord is. Begin met het feit dat selecteert waar u een punt van decimale fractie in uw antwoord kunt plaatsen. Het zou niet zeker moeten zijn, maar u bespaart tijd als u logica gebruikt en het punt zo dicht mogelijk bij het juiste antwoord plaatst.

In ons voorbeeld kan een redelijke schatting van de vierkantswortel van het nummer 40 6,4 zijn, zoals, op basis van de bovenstaande informatie, we weten dat het antwoord dichter bij 6 jaar is.

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 16

3. Vermenigvuldig het geschatte aantal van zichzelf. Het volgende dat je hoeft te doen is een geschat cijfer op een vierkantje opleveren. Je hebt het waarschijnlijk niet geluk en je krijgt het originele nummer niet. Het zal een beetje groot zijn, of een beetje kleiner. Als uw resultaat te groot is, probeer het dan opnieuw, maar met een iets kleiner benaderend getal (en integendeel, als het resultaat te laag is).

Vermenigvuldig 6.4 zelf, en u krijgt 6,4 × 6,4 = 40.96, wat een beetje meer is voor het originele nummer.

Omdat ons antwoord meer bleek te zijn, moeten we een aantal tiende minder vermenigvuldigen voor het geschat en verkrijgen van het volgende: 6.3 × 6,3 = 39.69. Het is een beetje minder voor het originele nummer. Dit betekent dat de vierkantswortel 40 tussen 6.3 en 6.4 is. En nogmaals, als 39.69 dichter bij 40 dan 40.96, weten we dat de vierkantswortel dichter bij 6.3 is dan met 6.4.

Titel afbeelding Solve Square Root-problemen Stap 17

4. Ga door met de berekening. In dit stadium, als u tevreden bent met uw antwoord, kunt u eenvoudig de eerste gok de geschatte waarde nemen. Als u echter een meer accuraat antwoord wilt krijgen, hoeft u alleen maar een geschatte waarde te kiezen met twee tekenen van een decimale fractie die deze geschatte waarde tussen de eerste twee nummers plaatst. Door deze tellen voort te zetten, kun je drie, vier en meer puntkomma`s voor je antwoord krijgen. Het hangt allemaal af van hoe ver je wilt gaan.

Laten we in ons voorbeeld 6.33 kiezen als een geschatte waarde met twee decimalen. Vermenigvuldig 6.33 op zichzelf om 6,33 × 6,33 = 40.0689 te krijgen. Omdat het iets meer is dan ons nummer, nemen we het nummer kleiner, bijvoorbeeld, 6.32. 6.32 × 6,32 = 39.9424. Dit antwoord is iets minder dan ons nummer, dus we weten dat de exacte vierkante wortel tussen 6.32 en 6.33 is. Als we wilden doorgaan, zullen we dezelfde aanpak blijven gebruiken om een antwoord te krijgen dat nauwkeuriger en nauwkeuriger zou worden.

Tips

Gebruik de rekenmachine om snel oplossingen te vinden. De meeste moderne rekenmachines kunnen meteen een vierkantswortel van het aantal vinden. Het enige dat u hoeft te doen is uw nummer invoeren en klik vervolgens op de knop met het hoofdbord. Bijvoorbeeld, om de root 841 te vinden, moet u op 8, 4, 1 en (√) drukken. Als gevolg hiervan ontvangt u het antwoord 39.

Deel in het sociale netwerk:

Hoe op te lossen vergelijkingen met root

Stappen

Tips