Hoe een derivaat te nemen in wiskundige analyse

De afgeleide functie kan worden gebruikt om nuttige informatie over grafische afbeeldingen te verkrijgen, bijvoorbeeld om de positie van de maxima, dieptepieken, pieken, depressie en kantel van de tilt, te achterhalen. U kunt ze zelfs gebruiken om complexe vergelijkingen op het schema te bouwen zonder de toepassing van de grafische rekenmachine! Helaas kan het vinden van een derivaat een vervelende taak zijn, maar dit artikel zal u helpen sommige technieken en behendigheidheden te leren.

Stappen

  1. Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 1
een. Bekijk het formulieraanduidingsderivaat. De volgende twee vormen van aanduiding zijn de meest voorkomende, maar op Wikipedia vindt u een enorm aantal anderen Hier.
  • Aanwijzing Leibnitsa. Deze aanduiding is het meest gebruikelijk in gevallen waarin de functie Y en X omvat. DY / DX betekent letterlijk "afgeleide y ten opzichte van x." Het is handig om het derivaat te presenteren in de vorm van oneindig kleine verschillen δY / Δx. Deze verklaring is een gevolg van het bepalen van het derivaat door de limiet: limH-> 0 (f (x + h) -f (x)) / h. Met behulp van deze aanduiding voor het tweede derivaat moet u schrijven: DY / DX.
  • Lagrange benaming. Derivatieve functie kan ook worden geschreven als F `(x). Deze benaming wordt gelezen als "F barcode van x". Deze aanduiding is korter dan de drijvende aanduiding, het is handig bij het overwegen van het derivaat als een functie. Om derivaten van hogere bestellingen te vormen, voeg dan gewoon toe aan"F" Nieuw " ` ". Dus de tweede afgeleide wordt bekeken F `` `(x).
  • Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 2
    2. Ontdek wat een afgeleide is en waarom het nodig is. Ten eerste, om de helling van directe afhankelijkheid te vinden, worden twee punten op de lijn genomen en zijn hun coördinaten in de vergelijking gesubstitueerd (Y2 - Yeen) / (x2 - Xeen). Het kan echter alleen worden gebruikt voor lineaire afhankelijkheden. Voor kwadratische afhankelijkheden en boven de lijn zal een curve zijn, dus de definitie "verschil" twee punten kunnen niet accuraat zijn. Om de tilt-trekking te vinden naar kromlijnige graphics, worden twee punten genomen, die zijn gesubstitueerd in de standaardvergelijking voor het bepalen van tonging Tangent aan de curve: [F (x + DX) - F (X)] / DX. DX betekent "Delta X," Het verschil tussen de twee x-coördinaten van het schema. Houd er rekening mee dat deze uitdrukking vergelijkbaar is (y2 - Yeen) / (x2 - Xeen), Gewoon in een andere vorm. Aangezien het al bekend is dat het resultaat niet klopt, wordt een indirecte aanpak toegepast. Om de tilt-slepen op het punt (x, f (x)) te vinden, moet DX naar 0 streven, zodat twee geselecteerde punten in één leven. We kunnen echter niet deelnemen aan 0, daarom, het vervangen van beide waarden van de puntcoördinaten, u moet de uitdrukking op vermenigvuldigers uitbreiden en andere methoden gebruiken om de DX aan de onderkant van de uitdrukking te verminderen. Dit hebben gedaan, accepteer DX = 0 en los de vergelijking op. Dit is een hellingshoek op het punt (x, f (x)). Het derivaat van de uitdrukking is een algemene uitdrukking voor het vinden van een helling van een tangens om te plannen. Het lijkt misschien extreem moeilijk, maar er zullen verschillende hieronder getoonde voorbeelden helpen om het proces van het vinden van een derivaat te begrijpen.
    • Methode 1 van 4:
    Differentiatie van expliciete functies
    1. Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 3
    een. Gebruik de differentiatie van expliciete functies wanneer uw expressie al heeft, gelegen in het ene deel ervan.
  • Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 4
    2. Vervang een uitdrukking [f (x + dx) - f (x)] / dx. Als uw vergelijking bijvoorbeeld het formulier Y = X heeft, wordt het derivaat bekeken [(x + dx) - x] / dx.
  • Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 5
    3. Open beugels en vervolgens DX per beugels weergegeven, vergelijking [DX (2x + DX)] / DX. Nu kunt u twee DXS in de bovenste en onderste delen van de fractie verkorten. Als gevolg hiervan ontvangt u 2x + DX, en wanneer DX de neiging heeft tot 0, dan is het derivaat 2x. Dit betekent dat de helling van een tangens aan de grafiek y = x 2x is. Vervang gewoon de waarde van het X-punt waarin u een helling wilt vinden.
  • Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 6
    4. Verken de schema`s van het vinden van de afgeleide functies van dit type. Hieronder zijn sommige van hen.
  • Het derivaat van de vermogensfunctie is gelijk aan het product van de mate en de reden tot de graad per eenheid. Bijvoorbeeld, een derivaat van Xhanne 5x, en de derivaat X is gelijk aan 3.5x. Als voordat X al een nummer hebt, vermenigvuldig het in de mate. De 3x derivaat is bijvoorbeeld 12x.
  • Het derivaat van een willekeurig aantal is gelijk aan 0. Met andere woorden, het derivaat 8 is gelijk aan 0.
  • Afgeleide hoeveelheid is de som van individuele derivaten. De X + 3X-derivaat is bijvoorbeeld 3x + 6x.
  • Het derivaat van het werk is het product van de eerste factor op het derivaat van de tweede plus het product van de tweede factor bij het derivaat van de eerste. De X (2x + 1) -derivaat is bijvoorbeeld X (2) + (2x + 1) 3x, die 8x + 3x is.
  • Het fractie-derivaat (zeggen, f / g) is [G (derivaat F) - F (derivaat G)] / g. Bijvoorbeeld is een derivaat (x + 2x - 21) / (x - 3) gelijk aan (X - 6x + 15) / (X - 3).
    • Methode 2 van 4:
    Differentiatie van impliciete functies
    1. Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 7
    een. Gebruik differentiatie van impliciet tot expressie gebrachte functies wanneer Y aan de ene kant niet kan worden toegewezen in uw uitdrukking. Zelfs als je het in één deel hebt opgenomen, zal de berekening van DY / DX volumineus zijn. Hieronder staan ​​voorbeelden van het vinden van een afgeleide voor uitdrukkingen van dit type.
  • Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 8
    2. In dit voorbeeld: xy + 2Y = 3x + 2Y, vervang y op f (x) om te onthouden dat Y eigenlijk een functie is. De uitdrukking neemt het formulier XF (X) + 2 [F (X)] = 3x + 2F (X).
  • Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 9
    3. Om het derivaat van deze uitdrukking, onverschillige (intelligente woord betekenis te vinden om een ​​derivaat te vinden) beide zijden vergelijking door x. De uitdrukking wordt XF `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)] f` (x) = 3 + 2f `(x).
  • Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 10
    4. Vervang F (x) opnieuw op y. Wees voorzichtig en maak niet hetzelfde voor F `(x), verschillend van f (x).
  • Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 11
    vijf. Zoek f `(x). Het antwoord op dit voorbeeld neemt het formulier (3 - 2xy) / (x + 6Y - 2).
    • Methode 3 van 4:
    Derivaten van hogere orde
    1. Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 12
    een. Neem de hoogste orde derivatenfunctie om een ​​afgeleide derivaat te nemen (in geval van volgorde gelijk aan 2). Als u bijvoorbeeld wordt gevraagd om een ​​derivaat van een derde order te nemen, neemt u eenvoudig het afgeleide derivaat derivaat. Voor sommige uitdrukkingen nemen hoge orde derivaten de nulwaarde.
    Methode 4 van 4:
    Regels
    1. Titel afbeelding Neem derivaten in Calculus Stap 13
    een. Als Y een diffeurs is Z- en Z-Differeneerbare FunctionX, is Y een complexe functie X, en de Y tot X (DY / DX) Derivative (DY / DU) * (DU / DX). De kettingregel verwijst ook naar complexe krachtuitdrukkingen, bijvoorbeeld: (2x - x). Om een ​​derivaat te vinden, past u de productregel eenvoudig toe. Vermenigvuldig de uitdrukking in de mate en verklein de graad per eenheid. Vermenigvuldig vervolgens de uitdrukking op het basisderivaat (in ons geval is het 2x ^ 4 - x). Het antwoord op dit voorbeeld ziet er als volgt uit: 3 (2x - x) (8x - 1).

    Tips

    • Als je ziet dat je gewoon een enorm voorbeeld moet oplossen - maak je geen zorgen. Breek het op zoveel mogelijk stukken, waardoor de regels van het werk, fracties en t.NS. Ga daarna verder om afzonderlijke onderdelen te differentiëren.
    • Oefen om de regels van het werk, fracties, kettingen en in het bijzonder te gebruiken - differentiatie van functies in een impliciete vorm, omdat ze een zeer complex onderdeel zijn van de matanalyse.
    • U gebruikt de rekenmachine - probeer verschillende functies van uw rekenmachine te gebruiken om de mogelijkheden ervan te achterhalen. Vooral handig om de functies van de tangens en derivaat te kennen, als ze in uw rekenmachine zijn.
    • Onthoud de derivaten van de hoofdtrigonometrische functies en hoe u contact kunt opnemen.

    Waarschuwingen

    • Vergeet niet dat bij het gebruik van de Ruli-regels Voordat F (Derivative G) wordt gemaakt door een minteken - dit is een veel voorkomende fout en vergeten, u krijgt een onjuist antwoord.
    Deel in het sociale netwerk:
    Vergelijkbaar