Hoe een omgekeerde matrix 3x3 te vinden

In de regel worden inverse bewerkingen gebruikt om complexe algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen. Als de taak bijvoorbeeld aanwezig is in de divisie van een fractie, is het mogelijk om het te vervangen door een vermenigvuldiging voor een omgekeerde fractie, die omgekeerd is. Bovendien kunnen de matrices niet delen, dus u moet vermenigvuldigen met de retourmatrix. Bereken de matrix, de inverse matrix van 3x3-formaat, nogal vermoeiend, maar je moet het handmatig kunnen doen. Ook kan de omgekeerde waarde worden gevonden met behulp van een goede grafische rekenmachine.

Stappen

Methode 1 van 3:

Met behulp van een bijgevoegde matrix

een. Controleer de determinant van de matrix. Bereken eerst de determinant van de matrix. Als de determinant 0 is, dan kan de omgekeerde matrix niet worden berekend. De determinant van de matrix M wordt aangeduid als det (m).

In het geval van een matrix van 3x3 moet u eerst de determinant berekenen.
Lees het artikel om gedetailleerde informatie te ontvangen Hoe de determinant te vinden van de matrix 3x3.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 2

2. Transparenteer de originele matrix. Transpositie is een vervanging van rijen op de kolommen ten opzichte van de hoofddiagonaal van de matrix, dat wil zeggen, het is noodzakelijk om de elementen (I, J) en (J, I) plaatsen te veranderen. Tegelijkertijd veranderen de elementen van de hoofddiagonaal (start in de linkerbovenhoek en eindigt in de rechter benedenhoek) niet.

Als u de rijen op de kolommen wilt wijzigen, schrijft u de eerste regelelementen in de eerste kolom, de elementen van de tweede regel in de tweede kolom en de elementen van de derde regel in de derde kolom. De procedure voor het wijzigen van de positie van de elementen wordt getoond in de figuur waarop de bijbehorende elementen worden omcirkeld met gekleurde cirkels.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 3

3. Zoek definieer elke matrix van 2x2. Elk element van elke matrix, inclusief omgezet, is geassocieerd met de overeenkomstige matrix 2x2. Om de 2x2-matrix te vinden, die overeenkomt met een specifiek element, overschrijdt de tekenreeks en kolom waarin dit artikel zich bevindt, dat wil zeggen, u moet vijf elementen van de originele matrix 3x3 oversteken. Unpounted vier elementen die elementen zijn van de overeenkomstige matrix 2x2.

Om bijvoorbeeld de 2x2-matrix te vinden voor een item dat zich op de kruising van de tweede regel en de eerste kolom bevindt, steekt u vijf elementen uit die zich in de tweede regel en de eerste kolom bevinden. De resterende vier elementen zijn elementen van de overeenkomstige matrix 2x2.

Vind de determinant van elke matrix 2x2. Om dit te doen, zal het product van de elementen van de secundaire diagonaal aftrekken van het werk van de items van de hoofddiagonaal (zie figuur).

Gedetailleerde informatie over 2x2 matrices die overeenkomen met bepaalde elementen van de 3x3 matrix is te vinden op internet.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 4

4. Maak een cofactor matrix. De eerder verkregen resultaten, noteer als een nieuwe cofactormatrix. Hiervoor wordt de identificatie van elke matrix 2x2 geschreven waar het overeenkomstige element van de matrix 3x3 zich bevond. Als de matrix 2x2 bijvoorbeeld wordt beschouwd voor het element (1.1), wordt zijn determinant opgenomen in positie (1,1). Verander vervolgens de tekenen van de overeenkomstige elementen volgens een specifiek schema dat in de figuur wordt getoond.

Schema van verandering van tekens: het teken van het eerste element van de eerste regel verandert niet - het teken van het tweede element van de eerste regel verandert in het tegenovergestelde - het teken van het derde element van de eerste regel verandert niet en online. Houd er rekening mee dat de tekens "+" en ";", die in het diagram worden getoond (zie figuur), niet aangeven dat het overeenkomstige element positief of negatief zal zijn. In dit geval suggereert het "+" -teken dat het elementbord niet verandert, en het teken ";" geeft een verandering in het elementteken aan.

Gedetailleerde informatie over Cofactor Matrices is te vinden op internet.

Dus je zult een bijgevoegde matrix van de originele matrix vinden. Soms wordt het een complex-conjugaatmatrix genoemd. Een dergelijke matrix wordt aangegeven als adj (m).

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 5

vijf. Verdeel elk element van de bijgevoegde matrix op de determinant. De determinant van de M matrix werd aan het begin berekend om te verifiëren dat de omgekeerde matrix bestaat. Verdeel nu elk element van de bijgevoegde matrix op deze determinant. Het resultaat van elke divisie-bediening zal optreden waar het bijbehorende item zich bevindt. Dus je zult een matrix, inverse bron vinden.

De determinant van de matrix, die in de figuur wordt getoond, is 1. Dus, hier is de bijgevoegde matrix een omgekeerde matrix (omdat bij het delen van een cijfer op 1 het niet verandert).

In sommige bronnen wordt de divisiebewerking vervangen door de vermenigvuldiging met 1 / DET (M). In dit geval verandert het eindresultaat niet.

Methode 2 van 3:

Gebruik van elementaire transformaties

een. Single Matrix Write naast de originele matrix. Registreer de eerste matrix m, trek er rechts van een verticale lijn en vervolgens rechts van de lijn de eenheid Matrix op. Het blijkt een matrix met drie rijen en zes kolommen (grote matrix).

Bedenk dat een enkele matrix een matrix is, waar de elementen van de hoofddiagonaal eenheden zijn, en de rest van de elementen zijn nullen. Gedetailleerde informatie over afzonderlijke matrices is te vinden op internet.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 7

2. Voer elementaire transformaties uit om een enkele matrix te verkrijgen om een enkele te verkrijgen. Ons doel is om een enkele matrix op de linker helft van de grote matrix te creëren. Elementaire transformaties uitgevoerd op de linker helft van een grote matrix moeten ook op de rechterhelder worden uitgevoerd (we herinneren ons dat de rechterhelft van de grote matrix een enkele matrix is).

Vergeet niet dat elementaire transformaties omvatten scalaire vermenigvuldigingsoperaties, evenals toevoeging en aftrekken van snaren om bepaalde elementen te scheiden. Gedetailleerde informatie over de gecombineerde elementaire matrices is te vinden op internet.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 8

3. Blijf een grote matrix omzetten totdat de linker helft (dat wil zeggen, de bronmatrix) zal niet veranderen in een enkele matrix. Bedenk dat een enkele matrix een matrix is, waar de elementen van de hoofddiagonaal eenheden zijn, en de rest van de elementen zijn nullen. Wanneer de eerste matrix een single wordt, ontvangt u op de rechterhelft van de grote matrix, een matrix, inverse bron.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 9

4. Noteer de inverse matrix. Noteer de elementen die zich op de rechterhelft van de grote matrix bevinden, als een afzonderlijke matrix, die de retourmatrix is.

Methode 3 van 3:

Een rekenmachine gebruiken

een. Selecteer een rekenmachine die werkt met matrixen. Met behulp van eenvoudige rekenmachines is het onmogelijk om een omgekeerde matrix te vinden, maar dit kan worden gedaan op een goede grafische rekenmachine, zoals Texas Instruments TI-83 of TI-86.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrixstap 11

2. Voer de bronmatrix in het geheugen van de rekenmachine in. Om dit te doen, drukt u op de MATRIX-knop (matrix) als het is. In het geval van Calculator van Texas Instruments moet u mogelijk op de knoppen 2 en Matrix drukken.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 12

3. Selecteer het menu Bewerken (Bewerken). Maak het met de pijlknoppen of de bijbehorende functieknop, die zich in het bovenste deel van het calculatortoetsenbord bevindt (de locatie van de knop is afhankelijk van het calculatormodel).

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 13

4. Voer de matrixaanduiding in. De meeste grafische rekenmachines kunnen werken met 3-10 matrices, die door letters A-J kunnen worden aangeduid. Selecteer in de regel eenvoudig [A] om de originele matrix aan te duiden. Druk vervolgens op de knop ENTER.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 14

vijf. Voer de grootte van de matrix in. Dit artikel verwijst naar 3x3-matrices. Maar grafische rekenmachines weten hoe ze met grote matrices kunnen werken. Voer het aantal rijen in, druk op de knop Enter en voer vervolgens het aantal kolommen in en druk nogmaals op de knop Enter.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 15

6. Voer elk matrixelement in. De matrix verschijnt op het calculatorscherm. Als de matrix al eerder in de rekenmachine is geïntroduceerd, verschijnt deze op het scherm. De cursor wijst het eerste element van de matrix toe. Voer de waarde van het eerste item in en druk op ENTER. De cursor gaat automatisch naar het volgende element van de matrix.

Om de negatieve waarde van het element in te voeren, drukt u op de speciale knop met het "MINUS" -teken en niet de bedieningsknop van de aftrekking - anders kan de rekenmachine dit nummer niet correct verwerken.

Gebruik de pijlknoppen om naar een specifiek matrixelement te gaan.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 16

7. Verlaat de Matrix-administratiemodus. Als u de waarden van alle matrixelementen invoert, klikt u op de knop Afsluiten. (Of, indien nodig, druk op de 2 en stopknoppen.) Dus u laat de wijze van toediening van de matrix achter en ga naar het hoofdscherm van de rekenmachine.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 17

acht. Gebruik een speciale knop om een omgekeerde matrix te vinden. Voer eerst de Matrix-invoermodus in (druk op de MATRIX-knop) en druk op de knop Namen om de matrixaanduiding te selecteren die u eerder hebt aangegeven (hoogstwaarschijnlijk [A]). Druk vervolgens op de knop Omgekeerde bediening, die is gemarkeerd als

X - een

$x ^ {{- 1}}$ (Misschien moet u eerst op 2 knop drukken). Op het scherm verschijnt op het scherm

A - een

$A ^ {{- 1}}$ . Druk op ENTER om de inverse matrix weer te geven.

Gebruik de ^ -knop niet (knop voor in de mate) om een ^ -1 in te voeren door op meerdere toetsen te drukken. Calculator begrijpt deze bewerking niet.

Als na het klikken op de knop Omgekeerde bediening, verscheen er een foutmelding op het scherm, hoogstwaarschijnlijk bestaat de inverse matrix niet. Om ervoor te zorgen dat, de identificatie van de matrices bereken.

Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 18

negen. Converteer de waarden van de Return Matrix-elementen naar gewone breuken. Standaard toont de rekenmachine de waarden van de elementen van de retourmatrix in de vorm van decimale fracties - in de meeste gevallen kan een dergelijke matrix niet in het antwoord worden geschreven. Daarom moeten decimale waarden van de elementen van de retourmatrix worden omgezet in gewone breuken (in de zeldzaamste gevallen, alle elementen van de retourmatrix zijn gehele getallen).

In veel grafische rekenmachines is er een knop waarmee u decimale fracties naar het gewone kunt converteren. Op de TI-86-calculator klikt u bijvoorbeeld op Math, selecteer MISCAK (andere) en selecteer vervolgens FRAC en druk op ENTER. Decimale fracties worden automatisch geconverteerd naar het gewone.

Tips

De beschreven methoden kunnen worden toegepast op matrices waarvan de elementen niet alleen nummers zijn, maar ook variabelen, onbekende en zelfs algebraïsche uitdrukkingen.
Berekeningen opnemen op papier, omdat het buitengewoon moeilijk is om een omgekeerde matrix te vinden.
Er zijn computerprogramma`s die kunnen werken met eventuele matrices, waaronder matrix 30x30.
Controleer het antwoord dat wordt verkregen met behulp van een van de in dit artikel beschreven werkwijzen. Voor deze vermenigvuldigen Bron (m) en achteruit (M) matrix. Onthoud dat m * m = m * m = 1. Een enkele matrix is een matrix, waar de elementen van de hoofddiagonaal eenheden zijn, en de rest van de elementen zijn nullen. Als vermenigvuldigingsresultaat niet gelijk is aan 1, controleert u uw berekeningen.

Waarschuwingen

Niet alle matrices 3x3 omkeerbaar. Als de determinant van de matrix 0 is, bestaat de omgekeerde matrix niet. (Houd er rekening mee dat er een divisie is in een determinant in de berekeningen en kan niet worden verdeeld in 0.)

Deel in het sociale netwerk: