Hoe handmatig veel Mandelbrot te tekenen: 9 stappen

Mandelbrot velen bestaan uit punten gebouwd op een complex vlak vormen Fractal: opvallende vorm of vorm waarin elk deel eigenlijk een verminderde kopie van het geheel is. Ongelooflijk verblindende beelden, verborgen in een veelvoud aan Mandelbroke, kunnen in de 1500s worden bekeken als gevolg van het begrip van Raphael Bombial over de imaginaire getallen - maar dit was niet, terwijl Benoit Mandelbrot en anderen niet begonnen fractals te verkennen met behulp van een computer, dus Het geheim van het universum werd geopend.

Nu we weten dat het bestaat, kunnen we het primitiever benaderen: met de hand. Hier is de methode om de ruwe reproductie van de configuratie te bekijken, alleen om te begrijpen hoe het wordt gedaan - dan krijg je een diepere voldoening over de visualisatie, wat kun je met veel beschikbare computerprogramma`s doen, of die je op CD of DVD.

Stappen

een. Begrijp de belangrijkste formule, vaak uitgesprokenz = z + c. Het betekent gewoon dat we voor elk punt in het Mandelbrot-universum willen zien, we blijven berekenen Z,Terwijl een van de twee voorwaarden niet optreedt - dan schilderen we het om te laten zien hoeveel berekeningen we deden. Maak je geen zorgen! Het wordt duidelijk na de volgende stappen.

2. Neem 3 veelkleurige potlood of gebroken kleurpotloden of tips van markeringen en zwart puntig potlood of pen om schets te maken.De reden dat we drie kleuren willen - we zullen de eerste benadering van niet meer dan 3 herhalingen (passages of, met andere woorden, met behulp van de formule tot 3 keer op het punt):

3. Zwarte marker, teken grote labeurs op het bord, 3x3 meter, op een vel papier.

4. Label (ook zwart) Middenkant (0, 0) `. Dit is een constant punt van punt - constante (`C`) precies in het midden van het plein. Laten we nu zeggen, elk vierkant 2 eenheden in de breedte, dus voeg en / of aftrekken 2 naar / van de waarden van elk vierkant NS en W , waar NS Eerste nummer I W - tweede. Wanneer het klaar is, ziet het eruit alsof het hier wordt getoond. Wanneer u zich aan de cel houdt, moeten de waarden van het (tweede getal) hetzelfde zijn, wanneer u de cellen naar beneden volgt, moeten de waarden van X (eerste nummer) hetzelfde zijn.

vijf. Bereken de eerste pas, of Herhalen , Formules. Jij, zoals een computer (in feite, was de initiële betekenis van het woord "man die berekent") kan jezelf doen. Laten we beginnen met deze aannames:

De initiële waarde van Z elk vierkant (0, 0). Wanneer de absolute waarde Z voor dit punt groter is dan of gelijk aan 2, dan het punt (en het overeenkomstige vierkant), zoals ze zeggen, Vermijdt Mandelbrot-sets. Wanneer dit gebeurt, schildert u een vierkant, afhankelijk van het aantal herhalingen van de formule die u op dat moment hebt vermeld. Titel afbeelding 217503 5A

Selecteer de kleuren die u gebruikt voor passes 1, 2 en 3. Stel dat het respectievelijk rood, groen en blauw zal zijn voor de doeleinden van dit artikel. Titel afbeelding 217503 5b

Bereken de Z-waarde voor de linkerbovenhoek van het Cross-Tag-bord, aangenomen dat de initiële waarde Z is als 0 + 0i of (0, 0) (zie de sectie-tips voor een beter begrip van deze afbeeldingen). We gebruiken de formule z = z + c, Zoals beschreven in de eerste stap. Je zult dat in dit geval snel zien,Z + Ceenvoudig `met` , Zoals nul kwadraat is gewoon nul. Met wat `C` is voor dit gebied? (-2, 2). Titel afbeelding 217503 5c

Bepaal de absolute waarde van dit punt absolute waarde van het complexe nummer (A, B) is een vierkantswortel van A + B. Nu, omdat we het zullen vergelijken met een bekende betekenis: `2` , We kunnen het berekenen van de vierkantswortel, het vergelijken van A + B tot 2, die, we weten, gelijk is `4` .Op deze berekening, A = -2 en B = 2. Titel afbeelding 217503 5D

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8, meer dan 4.

Het bleek na de eerste berekening van Mandelbrot, aangezien de absolute waarde groter is dan 2. Verzamel het met een potlood dat is geselecteerd voor bestelling. Titel afbeelding 217503 5e

Doe hetzelfde voor elk vierkant op het bord, behalve het centrale plein, dat niet zal worden beroofd van een set van Mandelbroke in de 3e Pass (en nooit zal worden beroofd). U hebt dus slechts twee kleuren gebruikt: de kleur van het eerste permanente van alle externe vierkanten, en de derde doorgangskleur voor de middellijn.

6. Laten we vierkanten 3 keer meer proberen , 9 tot 9, maar behoud nog steeds een maximum van 3 herhalingen.

7. Begin van de 3e rij naar beneden, want hier wordt het onmiddellijk interessant.

Het eerste element, (-2, 1) is groter dan 2 (omdat (-2) + 1Stall 5), dus laten we één rood tekenen, omdat het een set van Mandelbrot op de eerste passeert. Titel afbeelding 217503 7A

Tweede element, (-1.5, 1) Niet meer dan 2. Vertrouwen op de formule van de absolute meerderheid, x + y, waarbij x = -1.5 en y = 1: Titel afbeelding 217503 7b

(-een.5) = 2.25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, minder dan 4, dus de vierkantswortel is minder dan 2.

We wendden dus tot onze tweede passage, de berekening van Z + C met behulp van een snelkoppeling (X-Y, 2XY) voor Z (zie de tips-sectie waarvoor deze snelkoppeling wordt geproduceerd), met X = -1.5 en Y = 1: Titel afbeelding 217503 7c

(-een.5) - 1 wordt 2.25 - 1, wat wordt een.25;

2xy, waar x-1.5 en y 1, wordt 2 (-1.5), dat gelijk is -3.0;

Het geeft ons z van (1.25, -3)

Nu toevoegen C naar deze cel (voeg x toe aan x, y to y), we krijgen (-0.25, -2)

Laten we controleren of het nu meer dan 2 is, nu de absolute waarde. We beschouwen x + y: Titel afbeelding 217503 7D

(-.25) = .0625

-2 = 4

.0625 + 4 = 4.0625, wiens vierkantswortel groter is dan 2, komt het uit na de tweede passage: onze eerste groen!

Aangezien u nu bekend bent met de berekeningen, kunt u soms zeggen hoe men een set van Mandelbroke kan vermijden, gewoon naar de cijfers kijken. In dit voorbeeld heeft de component Y een waarde van 2, waarin, wanneer de waarde van een ander nummer op het plein en het vierkant groter is dan 4. Elk nummer, groter dan 4, heeft een vierkante wortel meer dan 2. Zie hieronder tips voor een meer gedetailleerde uitleg.

Het derde element met de waarde (-1, 1) vermijdt de eerste passage niet: waar en 1, en -1 op het plein - het is 1, x + y is 2. Dus beschouwen we Z + C met behulp van een label (X-Y, 2XY), waarbij Z: Titel afbeelding 217503 7E

(-1) -1 wordt 1-1, die 0 is;

2xy dan2 (-1) = -2;

z = (0, -2)

Door het toe te voegen, krijgen we (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

Dit is allemaal dezelfde absolute waarde, zoals eerder (vierkantswortel van twee, ongeveer 1.41) - Doorgaan met de derde herhaling: Titel afbeelding 217503 7F

([-1]) - ([- 1]) wordt 1-1, die gelijk is aan 0 (opnieuw)...

Maar nu is 2xy 2 (-1) (- 1), die 2 is, gelijk aan Z-waarde van (0, 2)

add c krijgen (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), dan is A + B 10, veel meer dan 4.

Zo vermijdt deze keer ook. Kleur 6-cellen in uw derde kleur, blauw en ga naar de volgende, omdat we drie herhalingen vanaf dit punt hebben voltooid. Titel afbeelding 217503 7g

Het feit dat we slechts drie kleuren gebruiken, wordt hier duidelijk als een probleem, aangezien wat slechts na 3 herhalingen, op dezelfde manier wordt geschilderd als (0, 0), die "nooit" weggaat - natuurlijk zie je nog steeds dichterbij tot "Fout" Mandelbrot op dit niveau van detail.

acht

Ga door met berekeningen in elke cel , Hoewel het niet had beïnvloed, of u het maximale aantal herhalingen hebt bereikt (het aantal kleuren dat u gebruikt: 3 in dit voorbeeld), schudt u het op dit punt. Hier is hoe de matrix 9 op 9 zorgt voor 3 herhalingen op elk vierkant ... Ziet eruit als iets!

negen. Herhaal dezelfde matrix opnieuw met een groot aantal kleuren (herhalingen) om de volgende meerdere lagen, of beter te identificeren, een veel grotere matrix voor een langetermijnproject! Je krijgt meer accurate foto`s door:

Titel afbeelding Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533

Een toename van het aantal cellen is 81 cellen aan elke kant. Let op de gelijkenis van de matrix 9 tot 9 hierboven, maar met veel gladdere randen op de cirkel en ovaal.

Titel afbeelding mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797

Het aantal kleuren (herhalingen) vergroten - het heeft 256 tinten rood, groen en blauw in totaal 768 kleuren in vergelijking met 3. Merk op dat u nu de contouren van de bekende Mandelbro kunt zien "meer" (of "Fouten", Afhankelijk van hoe je ernaar kijkt). Het nadeel is de hoeveelheid tijd die vereist is door, als u elke herhaling van 10 seconden kunt berekenen, het is ongeveer 2 uur voor elke cel, of zo, Lake Mandelbrot. Hoewel dit een relatief klein deel van de matrix 81 op 81 is, zal het nog steeds mogelijk zijn, het jaar duurt om het te voltooien, ook al werkte u elke dag binnen een paar uur. Dit is waar het siliciumtype computer geschikt is.

Tips

Waarom z = (x-y, 2xy)?

Gebruik de volgende formule hier om twee complexe getallen te vermenigvuldigen als (a, b) c (c, d): Mathworld-artikel: (A, b) (C, D) = (AC - BD, BC + AD)
Constant vermenigvuldigd met een vierkantswortel van een negatief getal 1, vaak genoemd `I` . Complex getal (0, 0), bijvoorbeeld 0 + 0i en (-1, -1) (1) + (-1 * i) .In gedachten hebben dat het complexe aantal heeft "Echt" en"Nabootsen" deel en het laatste nummer.

Nog steeds bij ons? Onthoud dat de voorwaarden maar en met - Echt, Itermines B en NS Denkbeeldig . Daarom, wanneer denkbeeldige leden worden vermenigvuldigd, geeft een vierkantswortel van negatief 1 op zichzelf vermenigvuldigd negatief 1, ontkent het resultaat en maakt het Echt- Terwijl het aantal `ad` `en` BC-aanpak denkbeeldig is, omdat de vierkantswortel van negatieve 1 nog steeds de uitdrukking van deze producten is. Daarom hebben we AC - Echt , en BC + AD denkbeeldig.
Omdat we opgericht zijn in het vierkant van het nummer in plaats van twee verschillende aantallen te vermenigvuldigen, kan het enigszins worden vereenvoudigd als A = S, en in = D, we hebben een product in de vorm (A-B, 2AB). En aangezien we weergeven "Uitgebreid vliegtuig" op de "Cartesiaans vliegtuig", met `X` As die vertegenwoordigt "Echt" en `Y` As die vertegenwoordigt "denkbeeldig", Het zal betrekking hebben op (X-y, 2xy).

Als u de cel weer en opnieuw telt, en merk op dat het resultaat, dat precies hetzelfde is als degene die u al voor deze cel hebt ontvangen, weet u, u bent in een eindeloze cyclus gekomen - dat de kooi nooit uitbrak! Zo kunt u een label krijgen, de uiteindelijke kleur van uw cellen en de overgang naar de volgende. (0, 0), uiteraard een van deze cellen.

Wilt u meer weten over het toekennen van de absolute waarde van het geïntegreerde aantal, werkt niet aan de berekeningen?

De absolute waarde van het complexe aantal (A, B) is een vierkantswortel van A + B, evenals maar en `B` worden aan elkaar gepresenteerd op elkaar op het Cartesiaanse raster (X en op de coördinaten, respectievelijk). Daarom, aangezien we weten dat een set van Mandelbroke beperkt is tot een waarde van 2, en het vierkant 2 = 4, kunnen we vierkante wortels omzeilen, gewoon kijken of x + y> = 4.

Als Catat een lengte heeft> = 2, dan moet hypotenuse (diagonale kant) ook groter zijn dan 2. Als je niet ziet waarom het zo is, kijk dan naar de rechthoekige driehoeken op het Cartesiaanse raster, en dit zal voor de hand liggend worden, of er gewoon aan denken als deze: 2 = 4, en een ander positief nummer aan dit toevoegen (en verwijder een ander positief nummer nummer naar het plein, we worden altijd positief) kunnen niet leiden tot het resultaat minder dan 4 . Dus, als één component van X of in het geïntegreerde aantal een waarde van 2 of meer heeft, is de absolute waarde van dit aantal groter dan of gelijk aan 2, en vermijdt de set van Mandelbroke.

Voor berekening "Virtuele breedte" Elke cel verdelen we "Virtuele diameter" op de "Aantal cellen minus één". We gebruiken virtuele diameter 4 in de bovenstaande voorbeelden, omdat we alles in een straal 2 willen laten zien (een set van Mandelbroke is beperkt tot waarde 2). Voor 3-zijdige benadering, die `4 / (3 - 1)` , wat gelijk is `4/2` , Wat overeenkomt met `2` . Voor 9-zijdelen gebied is het `4 / (9 - 1)` , wat gelijk is `4/8` , Wat overeenkomt met `0,5` . Gebruik dezelfde grootte van virtuele cellen voor hoogte en breedte, zelfs als u een zijde langer maakt dan de andere, anders zal de set worden vervormd.

Hoe handmatig veel mandelbrot te trekken

Stappen

Tips

Waarschuwingen