Hoe te bepalen of eindeloze rij convergeert

Eindeloze numerieke rijen leiden vaak tot verwarring en schrikken omdat ze vrij moeilijk zijn om mentaal voor te stellen. Op het eerste gezicht is het moeilijk om te zeggen, een aantal convergeert of niet, een paar eeuwen geleden, het antwoord op een dergelijke vraag zou vele uren duren. In onze tijd, dankzij de inspanningen van veel uitstaande wiskundigen, hebben we echter een reeks eenvoudige technieken, waardoor de taak gemakkelijk kan oplossen. Deze technieken zijn bedoeld om een ​​reactie op de vraag te verkrijgen, een getal convergeert of niet, en niet om zijn som te vinden. Om ze te begrijpen, zou je ook de basis van computing moeten bezitten.

Stappen

  1. Titel afbeelding Bepaal of een oneindige serie stap 1 convergeert
een. Implementeer een voorlopige cheque. Er is een eenvoudige stelling die stelt dat als de oneindige som van de functie F convergeert, de limiet van de functie F is 0. Dus als we de functie x ^ 2 hebben, heeft het geen limiet, en het is dus het bedrag oneens in het oneindige, aan de andere kant, de limiet van de functie 1 / x is 0, zodat de hoeveelheid kan convergeren. Als de limiet niet gelijk is aan nul, weten we dat de rij divergeert. Let op: het tegenovergestelde is niet waar, dat wil zeggen, het feit dat de limiet nul is, betekent niet dat een aantal noodzakelijkerwijs convergeert. In dit geval is verdere verificatie noodzakelijk.
  • Titel afbeelding Bepaal of een oneindige serie stap 2 convergeert
    2. Geometrische rijen. Voor deze rijen is er een heel eenvoudige regel, dus eerst bepalen of uw rij geometrisch is. De geometrische serie is de volgorde van cijfers, elk lid waarvan elk lid kan worden weergegeven als r ^ k, waarbij K een variabele is, en R is een getal in het bereik tussen -1 en 1. Geometrische rijen zijn het er altijd mee eens. Bovendien kunt u eenvoudig de hoeveelheid van een dergelijke rij bepalen, die gelijk is aan 1 / (1-R).
  • Titel afbeelding Schrijf een kerstafbeelding Stap 4
    3. Gegeneraliseerde harmonische rangen of Dirichlet. Een dergelijk nummer wordt de som van de functies van het formulier 1 / (x ^ p) genoemd, waarbij x een nummer is. De stelling voor deze serie bepaalt dat als p groter is dan het apparaat, de serie convergeert, als P kleiner is dan of gelijk aan één, divergeert de rij. Dit betekent dat de bovengenoemde serie 1 / x wordt verzonden, omdat het kan worden weergegeven als 1 / (x ^ 1), waar P = 1. Deze serie wordt harmonisch genoemd. Een getal 1 / (x ^ 2) convergeert, als 2 meer 1.
  • 4. Andere rijen. Als een nummer niet behoort tot een van de hierboven aangegeven typen, moet u de onderstaande methoden hieronder volgen. Als een methode niet heeft geholpen, moet u het volgende toepassen omdat het niet altijd duidelijk is welke men zou moeten kiezen. Hoewel er geen ondubbelzinnige regels zijn, kunt u na verloop van tijd beter navigeren bij het kiezen van de gewenste methode.
  • Vergelijkingsmethode. Stel dat je twee rijen hebt bestaande uit positieve leden, een (n) en b (n). Vervolgens: 1) Als het oneindige bedrag B (n) convergeert, en a (n) minder is dan B (N) (voor voldoende grote N), wordt de som A (N) ook geconvergeerd, 2) als B ( n) verdrijven en een (n) b (n), dan een (n) ook divergeert. U hebt bijvoorbeeld een serie 2 / x- we kunnen het vergelijken met in de buurt van 1 / x. Aangezien we al weten dat de serie 1 / x is uiteenlopen, en 2 / x> 1 / x, volgt het dat een nummer 2 / x ook verspreid. Het idee van de methode is dus om te bepalen of de serie is geconvergeerd of niet, met behulp van de reeds bekende serie.Titel afbeelding Bepaal of een oneindige serie stap 4bullet1 convergeert
  • Methode van vergelijkingslimieten. Als een (n) en b (n) rijen van positieve aantallen zijn, en als er een limiet A (n) / b (n) is, die groter is dan 0, convergeren of divergeren beide rijen. In dit geval wordt de reeks in het onderwijs ook vergeleken met de bekende methode, de methode is om een ​​bekende serie te kiezen, waarvan de maximale graad overeenkomt met de mate van de serie die onder studie komt. Als u bijvoorbeeld een serie 1 / (x ^ 3 + 2x + 1) beschouwt, is het logisch om het te vergelijken met in de buurt van 1 / (x ^ 3).Titel afbeelding Bepaal of een oneindige serie stap 4bullet2 convergeert
  • Controleer integraal. Als de functie groter is dan nul, continu en dalend op x-waarden meer dan of gelijk aan 1, convergeert de oneindige serie F (n) als een zekere integraal van 1 tot infinity uit de functie F (x) bestaat en heeft de uiteindelijke betekenis - anders wordt de rij uiteengegaan. Het is dus genoeg om de functie te integreren en de limiet voor x te vinden, op zoek naar oneindig: als de limiet eindig is, convergeert de serie, als de limiet gelijk is aan oneindigheid, divergeert de rij.Titel afbeelding Bepaal of een oneindige serie stap 4bullet3 convergeert
  • Getagaged rijen. Als een (k)> A (K + 1)> 0 bij een voldoende grote k, en de limiet A (n) 0 is, dan de alternatieve serie (-1) ^ n a (n) convergeert. Simpel gezegd, laten we zeggen dat je rij een significant is (dat wil zeggen dat de leden afwisselend positief en negatief zijn) - Gooi in dit geval het alternatieve deel van de functie en vind de limiet van wat resteert - als de limiet eindig is, de serie convergeert.
  • Relatie-methode. Als een oneindige serie A (n) wordt gegeven, zoekt u het volgende lid van de rij A (N + 1). Bereken vervolgens de verhouding van het daaropvolgende lid naar de vorige A (N + 1) / A (N), indien nodig, het nemen van de absolute waarde. Zoek de limiet van deze relatie wanneer N naar het oneindige streven, als deze limiet bestaat en definitief is, betekent dit het volgende: 1) Als de limiet minder dan één is, convergeert de reeks - 2) als de limiet groter is dan de eenheid, De rij wordt door één gescheiden) als de limiet gelijk is aan één, deze methode onvoldoende (een getal kan worden geconvergeerd en verspreid).
  • Dit zijn de belangrijkste methoden voor het bepalen van de convergentie van rijen, en ze zijn zeer nuttig. Als geen van hen heeft geholpen, is het waarschijnlijk dat de taak geen oplossing heeft, of u ergens een fout hebt gemaakt. Deze methoden kunnen ook worden gebruikt voor andere rijen, zoals stroomrijen, taylor rijen en t.NS. Het bezit van deze methoden is moeilijk te overschatten, aangezien andere eenvoudige manieren om de convergentie van een getal te bepalen, niet bestaan.

    • Tips

    • Zoek altijd de limiet en controleer of uw serie niet van toepassing is op geometrische of gegeneraliseerde harmonische rijen voordat u de vergelijkingsmethode gebruikt. Hiermee kunt u veel tijd en moeite besparen.

    Waarschuwingen

    • Probeer geen taak op te lossen met behulp van een rekenmachine.
    Deel in het sociale netwerk:
    Vergelijkbaar