Hoe de kubieke wortel handmatig te berekenen

Als er een rekenmachine bij de hand is, verwijdert u de kubieke root uit elk nummer zal geen problemen zijn. Maar als er geen calculator is of u gewoon indruk wilt maken op de omgeving, verwijdert u de kubieke wortel handmatig. De meeste mensen die hier worden beschreven Het proces zullen nogal moeilijk lijken, maar met de praktijk om kubieke wortels te extraheren, zal het veel gemakkelijker zijn. Voordat u dit artikel begint te lezen, onthoud dan de basiswiskundige bewerkingen en berekeningen met cijfers in Cuba.

Stappen

Deel 1 van 3:

Een kubieke wortel op een eenvoudig voorbeeld verwijderen

een. Noteer de taak. Extractie van kubieke wortel handmatig vergelijkbaar met de divisie in een kolom, maar met sommige nuances. Schrijf eerst de taak in een bepaalde vorm op.

Registreer het nummer waaruit de kubieke root moet worden verwijderd. Nummer om in drie cijfers te breken op groepen, en start het aftellen met een decimaal punt. Je moet bijvoorbeeld kubieke wortel uit 10 extraheren. Schrijf dit nummer als volgt: 10, 000 000. Extra nullen zijn ontworpen om de nauwkeurigheid van het resultaat te verbeteren.
Dichtbij en over het aantal tekenen een wortelteken. Stel je voor dat dit een horizontale en verticale lijn is die je tekent bij het delen in de kolom. Het enige verschil is de vorm van twee tekens.
Over de horizontale lijn, zet een decimale komma. Doe het direct boven de decimale semicel.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 2

2. Onthoud de resultaten van de constructie van gehele getallen. Ze zullen worden gebruikt in berekeningen.

een 3 = een * een * een = een

$1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1$

23 = 2 * 2 * 2 = acht

$2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8$

33 = 3 * 3 * 3 = 27

$3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27$

43 = 4 * 4 * 4 = 64

$4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64$

vijf 3 = vijf * vijf * vijf = 125

$5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125$

63 = 6 * 6 * 6 = 216

$6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216$

73 = 7 * 7 * 7 = 343

$7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343$

acht 3 = acht * acht * acht = 512

$8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512$

negen 3 = negen * negen * negen = 729

$9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729$

103 = 10 * 10 * 10 = 1000

$10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000$

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 3

3. Zoek het eerste cijfer van het antwoord. Kies een kubus van een geheel getal dat het dichtst in de buurt is, maar minder dan de eerste groep van drie cijfers.

In ons voorbeeld is de eerste groep van drie cijfers het nummer 10. Vind de grootste kubus die minder dan 10 is. Zo`n kubus is 8, en de kubieke wortel van 8 is 2.

Over de horizontale lijn over het nummer 10 Schrijf het nummer 2. Schrijf vervolgens de waarde van de bewerking

23

$2 ^ {3}$ = 8 onder de 10. Maak een lijn en aftrek 8 van de 10 (zoals met de gebruikelijke divisie in de kolom). Als gevolg hiervan zal het 2 (dit is het eerste residu).

Dus je hebt het eerste cijfer van het antwoord gevonden. Denk aan of dit resultaat vrij accuraat is. In de meeste gevallen is het een zeer geschat antwoord. Vroeg het resultaat in de kubus om erachter te komen hoe dichtbij het initiële aantal is. In ons voorbeeld:

23

$2 ^ {3}$ = 8, wat niet erg dicht bij 10 is, dus de berekeningen moeten doorgaan.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 4

4. Zoek het volgende antwoord. Stuur de tweede groep van drie cijfers naar het eerste residu en stuur de linkerkant van het resulterende nummer een verticale lijn door. Met behulp van het resulterende nummer vindt u het tweede cijfer van het antwoord. In ons voorbeeld, naar het eerste residu (2), moet u een tweede groep van drie cijfers (000) toeschrijven om het nummer 2000 te krijgen.

Aan de linkerkant van de verticale lijn schrijft u drie cijfers, waarvan de som gelijk is aan een bepaalde eerste factor. Laat lege ruimtes voor deze cijfers achter en zet tussen hen de borden "Plus".

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 5

vijf. Zoek de eerste term (van de drie). Noteer in de eerste lege ruimte het resultaat van de vermenigvuldiging van het nummer 300 per vierkant van het eerste antwoordnummer (deze wordt opgenomen boven het hoofdbord). In ons voorbeeld is het eerste cijfer van het antwoord 2, dus 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Schrijf 1200 in de eerste lege ruimte. De eerste term is het nummer van 1200 (plus twee meer nummers om te vinden).

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 6

6. Zoek het tweede cijfer van het antwoord. Ontdek welk nummer je nodig hebt om 1200 te vermenigvuldigen, zodat het resultaat dichtbij is, maar niet meer dan 2000 is. In een dergelijk aantal kan slechts 1 zijn, als 2 * 1200 = 2400, die meer dan 2000 is. Schrijf 1 (tweede cijfer antwoord) na 2 en decimaal punt over het hoofdbord.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 7

7. Zoek de tweede en derde termen (van drie). De vermenigvuldiger bestaat uit drie nummers (termen), waarvan u al hebt gevonden (1200). Nu moet u de resterende twee termen vinden.

Vermenigvuldig 3 tot 10 en voor elk cijfer antwoord (ze worden hierboven opgenomen boven het hoofdbord). In ons voorbeeld: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Voeg dit resultaat toe aan 1200 en ontvang 1260.

Eindelijk, loop je het bericht op het laatste cijfer in. In ons voorbeeld is het laatste cijfer van het antwoord 1, dus 1 ^ 2 = 1. De eerste factor is dus gelijk aan de som van de volgende nummers: 1200 + 60 + 1 = 1261. Noteer dit nummer links van de verticale functie.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 8

acht. Vermenigvuldigen en aftrekken. Vermenigvuldig het laatste cijfer van het antwoord (in ons voorbeeld is het 1) naar de gevonden factor (1261): 1 * 1261 = 1261. Noteer dit nummer onder 2000 en aftrek van 2000. U ontvangt 739 (dit is het tweede residu).

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 9

negen. Denk of het resulterende antwoord vrij accuraat is. Doe het elke keer na het voltooien van de volgende aftrekking. Na de eerste aftrekking was het antwoord gelijk aan 2, wat niet exact resultaat is. Na de tweede aftrekking is het antwoord 2.1.

Om de nauwkeurigheid van het antwoord te controleren, neem het in een kubus: 2.1 * 2.1 * 2,1 = 9.261.

Als u denkt dat het antwoord vrij accuraat is, kunnen de berekeningen niet worden voortgezet - anders doen er nog een aftrekking.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 10

10. Zoek de tweede factor. Om berekeningen te beoefenen en een nauwkeuriger resultaat te krijgen, herhaalt u de stappen die hierboven zijn beschreven.

Naar het tweede residu (739), stuur de derde groep van drie cijfers (000). Je krijgt het nummer 739000.

Vermenigvuldig 300 per vierkant van het nummer, dat is opgenomen boven het hoofdbord (21):

300 * 21 2

$300 * 21 ^ {2}$ = 132300.

Zoek een derde cijfer antwoord. Ontdek welk nummer je nodig hebt om 132300 te vermenigvuldigen, zodat het resultaat dichtbij is, maar niet meer dan 739000 bedroeg. Een dergelijk nummer is 5: 5 * 132200 = 661500. Schrijf 5 (derde antwoordcijfer) na 1 boven het root-teken.

Vermenigvuldig 3 tot 10 tot 21 en op het laatste cijfer van het antwoord (ze worden hierboven opgenomen boven het hoofdbord). In ons voorbeeld:

3 * 21 * vijf * 10 = 3150

Eindelijk, loop je het bericht op het laatste cijfer in. In ons voorbeeld is het laatste cijferantwoord 5, dus

vijf 2 = 25.

$5 ^ {2} = 25$

Dus de tweede factor is: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 11

elf. Vermenigvuldig het laatste cijfer van het antwoord op de tweede factor. Nadat u de tweede factor en het derde cijfer van het antwoord hebt gevonden, fungeer dan als volgt:

Vermenigvuldig het laatste cijfer van het antwoord op de gevonden multiplier: 135475 * 5 = 677375.

Verwijderen: 739000-677375 = 61625.

Denk of het resulterende antwoord vrij accuraat is. Om dit te doen, neem het dan in een kubus:

2, vijftien * 2, vijftien * 2, vijftien = negen, 94

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 12

12. Noteer het antwoord. Het hierboven opgenomen resultaat is het antwoord met een nauwkeurigheid van twee cijfers na de komma. In ons voorbeeld is een kubieke wortel van 10 2,15. Controleer het antwoord door het in de kubieke te eten: 2.15 ^ 3 = 9.94, dat is ongeveer 10. Als u een grote nauwkeurigheid nodig heeft, gaat u door met de berekeningen (zoals hierboven beschreven).

Deel 2 van 3:

Extractie van kubieke wortel door beoordelingen

een. Gebruik kubussennummers om de bovenste en onderste limieten te bepalen. Als u de kubieke wortel bijna van elk nummer wilt verwijderen, zoekt u de kubussen (sommige nummers), die dicht bij dit nummer staan.

U moet bijvoorbeeld kubieke root uit 600 extraheren. Zoals $acht 3 = 512$ $8 ^ {3} = 512$ en $negen 3 = 729$ $9 ^ {3} = 729$ , De waarde van de kubieke wortel van 600 ligt tussen 8 en 9. Gebruik daarom de nummers 512 en 729 als de bovenste en onderste limieten van het antwoord.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 14

2. Beoordeel het tweede nummer. Het eerste nummer dat u vond vanwege de kennis van de kubussen van gehele getallen. Draai nu een geheel getal in een decimale fractie, attribueren aan het (na een decimale puntkomma) wat cijfer van 0 tot 9. Het is noodzakelijk om een decimale fractie te vinden, die dichtbij zal zijn, maar minder bronnummer.

In ons voorbeeld is het nummer 600 tussen nummers 512 en 729. Bijvoorbeeld op het eerste gevonden nummer (8), een figuur van 5 opleggen. Het blijkt het nummer 8.5.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 15

3. Beoordeel het resulterende aantal, breng het in de kubus. Doe het om te controleren of de kubus dichtbij is, maar niet meer dan het originele nummer.

In ons voorbeeld:

acht, vijf * acht, vijf * acht, vijf = 614, een.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 16

4. Beoordeel indien nodig een ander nummer. Vergelijk het nummer van het resulterende nummer met het initiële nummer. Als het nummer van het resulterende nummer groter is dan het originele nummer, probeer dan een kleiner nummer te evalueren. Als de kubus van het resulterende aantal veel kleiner is dan het oorspronkelijke aantal, evalueert u grote aantallen totdat de kubus van een van hen het oorspronkelijke aantal overschrijdt.

In ons voorbeeld:

acht, vijf 3

$8.5 ^ {3}$ > 600. Dus schat minder dan 8.4. Bouw dit nummer in de kubus en vergelijk het met een startnummer:

acht, 4 * acht, 4 * acht, 4 = 592, 7

. Dit resultaat is minder dan het originele nummer. Aldus ligt de waarde van de kubieke wortel van 600 tussen 8.4 en 8,5.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 17

vijf. Beoordeel het volgende nummer om de nauwkeurigheid van de respons te verbeteren. Naar elk nummer wordt u gewaardeerd door laatstgenoemde, schrijf het nummer van 0 tot 9 toe totdat u een nauwkeurig antwoord ontvangt. In elke geschatte ronde moet u de bovenste en onderste limieten vinden, waarmee het initiële nummer zich bevindt.

In ons voorbeeld:

acht, 4 3 = 592, 7

$8.4 ^ {3} = 592.7$ en

acht, vijf 3 = 614, een

$8.5 ^ {3} = 614.1$ . Het initiële getal is 600 dichter bij 592 dan 614. Daarom, tot het laatste nummer dat u hebt beoordeeld, een figuur opleggen die dichter bij 0 is dan tot 9. Zo is een dergelijk nummer 4. Neem daarom het kubusnummer 8.44 in.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 18

6. Beoordeel indien nodig een ander nummer. Vergelijk het nummer van het resulterende nummer met het initiële nummer. Als het nummer van het resulterende nummer groter is dan het originele nummer, probeer dan een kleiner nummer te evalueren. Kortom, u moet zo`n twee getallen vinden waarvan de kubussen iets meer en iets minder zijn dan het oorspronkelijke aantal.

In ons voorbeeld

acht, 44 * acht, 44 * acht, 44 = 601, 2

. Dit is een beetje meer bron, dus u waardeert het andere (kleinere) nummer, bijvoorbeeld 8.43:

acht, 43 * acht, 43 * acht, 43 = 599, 07

. Dus de waarde van de kubieke wortel van 600 ligt tussen 8.43 en 8.44.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 19

7. Voer het proces uit dat wordt beschreven totdat u het antwoord ontvangt, waarvan u de nauwkeurigheid wilt regelen. Beoordeel het volgende nummer, vergelijk het met de bron, waarnaar, indien nodig, een ander nummer beoordeelt enzovoort. Houd er rekening mee dat elk extra cijfer na een decimale puntkomma`s de responsnauwkeurigheid verhoogt.

In ons voorbeeld is de lijst van 8.43 minder dan het oorspronkelijke aantal minder dan 1. Als u een grote nauwkeurigheid nodig heeft, neemt u het nummer 8.434 in de kubus en krijgt u dat

acht, 434 3 = 599, 93

$8.434 ^ {3} = 599.93$ , Dat wil zeggen, het resultaat is minder bronnummer van minder dan 0,1.

Deel 3 van 3:

Uitleg van het beschreven berekeningsproces

een. Onthoud het binomine-nummer. De binomine rij is het resultaat van de constructie van het Binoma (gedraaid) in zekere mate, in dit geval in de kubus. Om het kubieke wortel-extractie-algoritme hier te begrijpen, onthoud eerst hoe koekjes gekookt. Hoogstwaarschijnlijk heb je het op school gestudeerd (en waarschijnlijk, vergat hoe de meeste mensen). Variabelen

A

B

Geef wat eenduidige cijfers aan. Dan kan het tweecijferige nummer worden geschreven als een binoma

(10 A + B)

Hier is een lid $10 A$ vertegenwoordigt de afvoer van tientallen, dat is, als $A$ - Dit is een ondubbelzinnig nummer, dan $10 A$ - Dit is al een overeenkomstig tweecijferig nummer. Bijvoorbeeld, als $A$ = 2, en $B$ = 6, dan $(10 A + B)$ = 26, dat wil zeggen, je hebt een tweecijferig nummer 26.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 21

2. Vroege stuiter in de kubus. Doe dit om het proces van extractie van de kubieke wortel te begrijpen, die wordt beschreven in het eerste gedeelte. Berekenen

(10 A + B) 3

$(10A + B) ^ {3}$ =

(10 A + B) * (10 A + B) * (10 A + B)

1000 A 3 + 300 A^{2} B + dertig A B^{2} + B^{3}

$1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + b ^ {3}$ (Hier hebben we verschillende stadia van de constructie van de kubus verlaagd, om het artikel niet te rommelen door berekeningen).

Gedetailleerde uitleg kan worden gevonden hier.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 22

3. Begrijp het divisie-algoritme in de kolom. Houd er rekening mee dat de hier beschreven kubieke root-extractiewerkwijze erg lijkt op divisie in de kolom. Bij het verdelen in de kolom moet u het nummer (privé) vinden, met de vermenigvuldiging waarvan de verdeler zal slagen. In de methode beschreven als een privé, het resultaat van de extractie van een kubieke wortel (het wordt geschreven boven het teken van de root). Dat wil zeggen, het resultaat van het extraheren van een kubieke wortel kan worden weergegeven als bak (10A + B). De exacte waarden van de A en B in dit stadium zijn niet belangrijk: onthoud dat het resultaat in de vorm van gedraaid kan worden geschreven.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 23

4. Kijk naar het binomine-nummer. Het vertegenwoordigt het bedrag van vier homorals, dankzij het mogelijk om het beginsel van de werking van het algoritme te begrijpen voor het extraheren van kubieke wortel. Houd er rekening mee dat de vermenigvuldigingsfase van elke root-extractiefase gelijk is aan het bedrag van vier termen dat moet worden berekend en gevouwen.

De vermenigvuldiger van de eerste termijn is het nummer 1000. Om het eerste cijfer van het antwoord te berekenen, vindt u eerst een kubus van een geheel getal dat het dichtst in de buurt is, maar minder dan een bepaald aantal (namelijk de eerste groep van drie cijfers). Dit definieert een lid van 1000A ^ 3 van het binomine-nummer.

De vermenigvuldiger van het tweede lid van het binomine-getal is het nummer 300 (

3 * 10 2

$3 * 10 ^ {2}$ = 300). Bedenk dat in elke fase van de extractie van de kubieke wortel, het bijbehorende cijfer (s) respons werd vermenigvuldigd met 300.

De tweede term in elke fase van de winning van de wortel wordt bepaald door het derde lid van de binomiale serie, die gelijk is aan 30AB ^ 2.

De derde termijn in elke fase van de winning van de wortel wordt bepaald door het vierde lid van de binomiale serie, die gelijk is aan B ^ 3.

Titel afbeelding Bereken kubuswortel met de hand Stap 24

vijf. Let op de toename van de nauwkeurigheid van respons. Hoe meer stadia van de extractie van de wortel die je gaat passeren, hoe nauwkeuriger het antwoord is. Bijvoorbeeld, in dit artikel was het noodzakelijk om een kubieke root uit 10 te extraheren. In de eerste fase is het antwoord 2, sindsdien