Hoe fractal veel apollo te bouwen

Veel Apollo is het type fractal, dat is gebouwd door voortdurend af te dalen in de diameter van cirkels in één grote cirkel. Elke cirkel in een set van Apollo is "Tangent" tot aangrenzende cirkels, met andere woorden, de cirkels in de set van Apollo komen alleen in contact in een oneindig lage punt. Hij wordt genoemd ter ere van de Griekse wiskunde Apollonia perga. Dit type fractale gematigde mate van complexiteit kan op een computer of handmatig worden gebouwd, het creëert een mooi en helder beeld. Zie stap 1 hieronder om aan de slag te gaan.

Stappen

Deel 1 van 2:
Meer informatie over basisconcepten

Als u eenvoudig geïnteresseerd bent in het bouwen van een set van Apollo, is het niet nodig om wiskundige studies van fractal uit te voeren. Als u echter deze fractal dieper wilt begrijpen, is het belangrijk om de definities van een aantal concepten te kennen die zullen worden gebruikt in de bespreking van dit onderwerp.

  1. Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 1
een. Bepaal de belangrijkste termen. De volgende voorwaarden worden gebruikt in de onderstaande instructies:
  • Veel Apollo: een van de verschillende namen van het fractal type, dat bestaat uit een groep cirkels in een grote cirkel en met betrekking tot alle aangrenzende. Het wordt ook dodelijke cirkels of "kussende cirkels" genoemd.
  • Stradius van de cirkel: afstand van het midden van de omtrek tot het punt dat op de cirkel ligt. Geeft meestal de variabele "R" aan.
  • Curvisatie van de cirkel: positieve of negatieve omgekeerde radiuswaarde, of ± 1 / r. De kromming is positief voor de buitenkant van de omtrek en negatief - voor de interne.
  • Tanner: De term is van toepassing op lijnen, vliegtuigen en cijfers die in één oneindig lage punt kruisen. In een veelheid van Apollo verwijst het naar het feit dat elke cirkel betrekking heeft op het naburige alleen op één punt. Houd er rekening mee dat de kruising ontbreekt - de tangens-figuren overlappen elkaar niet.
  • Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 2
    2. Observeer de Ducages THEOREM.De Ducages Theorem is een formule die wordt gebruikt bij het tellen van de maten cirkels in de set van Apollo. Als we de kromming (1 / r) van drie kringen als A, B, en C Dienovereenkomstig stelt de stelling dat de kromming van de cirkel (of cirkels), die tangent is aan alle drie aangewezen cirkels NS,gelijk aan: D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A).
  • Voor onze doeleinden gebruiken we alleen het antwoord dat we kregen, een plusteken voor een vierkantswortel (met andere woorden, ... +2 (√ (...)). Momenteel is het voldoende om te weten dat de methode van aftrekking in de vergelijking wordt gebruikt in andere bijbehorende taken.
    • Deel 2 van 2:
    Een set van Apollo bouwen

    Veel Apollo neemt de vorm aan van een prachtig fractal ontwerp van het snijden in de grootte van de cirkels. Wiskundig, veel Apollo is oneindig gecompliceerd, maar gebruik je een computerprogramma of traditionele tekengereedschappen, je bereikt uiteindelijk dat moment waarop het onmogelijk is om een ​​kleinere cirkel te tekenen. Merk op dat hoe nauwkeuriger je een cirkel tekent, hoe meer ze overeenkomen met het meerdere Apollo.

    1. Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 3
    een. Verzamel digitale en analoge tekengereedschappen. In de onderstaande stappen zullen we onze eenvoudige vele Apollo bouwen. Je kunt een verscheidenheid aan jezelf bouwen of een computer gebruiken. In ieder geval moet je perfect gladde cirkels trekken. Dit is vrij belangrijk. Aangezien elke cirkel in fractal perfect moet passen met aangrenzende cirkels, kan elke enigszins misvormde cirkel uw eindresultaat bederven.
    • Als u veel op uw computer bouwt, hebt u een programma nodig waarmee u eenvoudig de cirkel van vaste straal kunt tekenen. Gfig - Vector grafische extensie voor gratis GIMP-bewerkingssoftware. Het kan worden gebruikt in een breed scala aan andere grafische programma`s. Mogelijk hebt u een rekenmachine en een teksteditor nodig of een reguliere notebook voor RADIUS- en CORVATING-OPMERKINGEN.
    • Om een ​​set handmatig te tekenen, hebt u een rekenmachine nodig (wenselijk wetenschappelijk of grafisch), potlood, cirkul, lijn (bij voorkeur met millimeter markup), millimeter papier en notities voor notities.
  • Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 4
    2. Begin met een grote cirkel. Je eerste taak is om eenvoudig één grote, perfect gladde cirkel te tekenen. Hoe groter de cirkel, hoe moeilijker het je fractal kan zijn, dus probeer zo`n cirkel te bouwen, welk papierformaat het toelaat, of zo dat het volledig op het scherm in het grafische programma kan worden gezien.
  • Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 5
    3. Teken een kleinere cirkel in de eerste cirkel die het op een gegeven moment aanraakt. Teken dus een cirkel in onze eerste cirkel, het zal minder zijn dan de belangrijkste, maar nog steeds vrij groot. De exacte grootte van de tweede cirkel is afhankelijk van u, omdat er geen ingestelde grootte is. Laten we echter een tweede cirkel tekenen zodat het de helft van de hoofdcirkel bezet. Met andere woorden, het midden is het midden van de grotere cirkelradius.
  • Vergeet niet dat in een set van Apollo alle cirkels aan elkaar raakten. Als u een bloedsomloop gebruikt bij het bouwen van cirkels, maakt u dit effect opnieuw door het scherpe einde van de circulatie in het midden van de straal van de hoofdcirkel te plaatsen en het cirkelvormige potlood zodanig aan te passen dat deze eenvoudig de rand van de cirkel zaaide, en teken vervolgens een kleinere binnencirkel.
  • Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 6
    4. Teken een identieke cirkel naast een kleinere binnencirkel. Dus laten we een andere omtrek naast de eerste tekenen. De omtrek moet tangend zijn aan beide cirkels: een externe grotere en interne kleinere, wat betekent dat beide interne cirkels precies in het midden van groot in contact komen.
  • Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 7
    vijf. Pas Decartes THEOREM toe om de afmetingen van de volgende cirkels te berekenen. Even stop met schilderen. Nu we drie omtrek in fractal hebben, kunnen we de Ducages-stelling gebruiken om de straal van de volgende cirkel te vinden die we zullen tekenen. Denk aan Descarte theorem vergelijking D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A), Wanneer A, B, en C de kromming van drie tangenscirkels en D - de kromming van de omtrek van de tangens van alle drie zijn. Daarom, om de straal van onze volgende cirkel te vinden, laten we de kromming van elk van de omtrek berekenen die we hebben totdat u de kromming van de volgende cirkel kunt vinden en vervolgens de straal kunt berekenen.
  • Laten we de straal van de buitenomtrek bepalen een. Zoals andere cirkels erin zitten, hebben we te maken met de "innerlijke" kromming (in plaats van extern), en daarom weten we dat het negatief is. - 1 / r = -1/1 = -1. Dus de kromming van de grote cirkel is gelijk -een.
  • De straal van kleinere cirkels is de helft van de straal is groot, dat wil zeggen, 1/2. Aangezien deze cirkels in contact komen met elkaar en de hoofdcirkel door externe partijen, hebben we te maken met externe kromming, positief. 1 / (1/2) = 2. Daarom is de kromming van kleinere cirkels gelijk 2.
  • Nu weten we dat A = -1, B = 2, en C = 2 in onze vergelijking van de Ducages Theorem. Laten we D:
  • D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)
  • D = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-2 + 4 + -2))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 0
  • D = -1 + 2 + 2
  • D = 3. De kromming van de volgende omtrek 3. Sinds 3 = 1 / R is de straal van deze cirkel gelijk aan 1/3.
  • Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 8
    6. Teken het volgende paar cirkels. Om de volgende twee cirkels te tekenen, gebruikt u de RADIUS-waarden die u net hebt gevonden. Vergeet niet dat deze omtrekkers zich raakt aan degenen waarvan de kromming werd gebruikt bij het tellen van de Ducages THEOREM. Met andere woorden, ze zullen betrekking hebben op en hoofd- en secundaire cirkels. Zodat deze cirkels drie anderen bezighouden, moet u ze in het vrije gebied aan de boven- en onderkant in de hoofdcirkel tekenen.
  • Vergeet niet dat de straal van deze cirkels 1/3 is. Squeeze 1/3 vanaf de rand van de buitenste cirkel en teken vervolgens een nieuwe. Het moet zich raaksen voor alle drie de nabijgelegen cirkels.
  • Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 9
    7. Blijf dus een cirkel toevoegen. Omdat ze fractals zijn, is veel Apollo oneindig complex. Dit betekent dat u een omtrek kunt toevoegen aan een toenemende en kleinere fractal-gebaseerde. Bent u alleen beperkt tot de nauwkeurigheid van uw gereedschappen (of als u een computer gebruikt, het vermogen van een grafisch programma om te zoomen). Elke cirkel, wat er ook klein is, moet eraan dan drie anderen zijn. Om elke volgende cirkel te tekenen, gebruik dan de krommingswaarden van drie raaklijnen voor het cirkels voor de Ducages-stelling. Trek dan met de hulp van het antwoord nauwkeurig een nieuwe cirkel.
  • Houd er rekening mee dat de set die we hebben om te bouwen symmetrisch is, dus de straal van één cirkel is hetzelfde als de straal van de omtrek is identiek. Niet alle sets van Apollo-symmetrisch.
  • Laten we een ander voorbeeld maken. Stel dat we na het bouwen van het laatste paar cirkels, we willen een cirkel tangend aan ons derde paar en de hoofdcirkel willen tekenen. De kromming van deze cirkels is respectievelijk 3, 2 en -1. Nu bevatten we deze nummers in de DECARE-stelling, instellen dat A = -1, B = 2, en C = 3:
  • D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-2 + 6 + -3))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (1))
  • d = 2, 6. We hebben twee antwoorden! We weten echter dat onze nieuwe cirkel kleiner zal zijn dan de raaklijnen, het betekent dat het logisch is dat het alleen maar het belang van kromming zal zijn 6 (en straal 1/6).
  • Een ander antwoord, 2, heeft in feite betrekking op een hypothetische cirkel aan de "andere zijde" van het punt van tangens aan de tweede en derde cirkel. Deze cirkel is tangend aan beide cirkels en op de hoofde, maar het zal de omtrek oversteken die we al hebben getrokken, zodat u dit antwoord kunt negeren.
  • Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 10
    acht. Probeer als een test asymmetrisch veel Apollo te bouwen en de grootte van de tweede cirkel te veranderen. Alle sets van Apollo beginnen te bouwen van hetzelfde - met een grote buitenste cirkel, wat de grens van de fractal is. Het is echter niet nodig dat de straal van de tweede cirkel eerst 1/2 was. We hebben net besloten om deze cijfers te nemen voor eenvoud en gemak in overeenstemming. Probeer voor plezier een nieuwe set te bouwen met een tweede cirkel van een andere maat - dit zal leiden tot nieuwe richtingen in de studie.
  • Na een tweede cirkel te bouwen (ongeacht de grootte), moet uw volgende actie de constructie zijn van één (of meer) omtrek, die tangent en aan de tweede is, en aan de belangrijkste uitwendige cirkels - er is geen echte manier om te bouwen het. Daarna kunt u de Ducages THEOREM gebruiken om de straal van volgende cirkels te bepalen, zoals hierboven weergegeven.
    • Deel in het sociale netwerk:
    Vergelijkbaar